Шпаргалка: Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра

Обозначим класс эквивалентности, образованный элементами g ÎG, gЇ и покажем, что gЇ=Kg={hg| hÎK, gÎG}

Тогда множество классов эквивалентности, которые называются смежными классами группы G по подгруппе К, образуют фактор-множество.

{Kg| gÎG}=G/”º”-фактор-множество.

Аналогично можно вывести отношение сравнения по подгруппе иначе:

“aºb(mod K)Ûb^-1 aÎK”.

Для различения классы Кg и gК называют правым и левым, причем È Кg=G и ÈgK=G, a {Kg/gÎG} и {gK/gÎG}-образуют фактор-множества.

Возможен случай, когда для "gÎG, Kg=gK. В этом случае К обозначают буквой Н и называют нормальным делителем группы G по Н. Чем интересен этот случай? Оказывается, над смежным классом группы G по Н можно производить операции, а это позволяет рассматривать новую алгебру.

Зададим операцию “ * ” на множестве смежных классов {Hg/g}, где нормальная подгруппа группы G так: Hg₁ Hg₂ =Hg₁ g₂ . Покажем, что выведенная таким образом операция является алгебраической, т. е. покажем, что умножение не зависит от представителей классов, т. е., если

a, a'ÎHg₁ , b,b'ÎHg₂ , то abºa'b'(mod H), т.е. ab, a'b'ÎHg₁ g_2.

ab=(h₁ g₁ )(h₂ g₂ )=h₁ h₂ g₁ g₂ =hg₁ g₂ ÞabÎHg₁ g₂ ;

a'b'=(h₁ 'g₁ )(h₂ 'g₂ )=h₁ 'h₂ 'g1g2=h'g₁ g₂ Þa'b'ÎHg₁ g₂ , следовательно

ab, a'b' принадлежит одному классу, т. е. Операция “ * ” на множестве классов является алгебраической, что и дает возможность рассматривать новую группу.

Теорема 7. Множество смежных классов группы G по нормальной подгруппе Н образуют группу.

Т. к. G, H p G-нормальная, {Hg/g G}=G/”º” . Зададим операцию: Hg₁ Hg₂ =Hg₁ g₂ . Покажем, что фактор-множество по введенной операции является группой.

1°.Hg₁ (Hg₂ Hg₃ )=Hg₁ (Hg₂ g₃ )=Hg₁ (g₂ g₃ )=H(g₁ g₂ )g₃ =Hg₁ g₂ Hg₃ =(Hg₁ Hg₂ )Hg₃ Þоперация ассоциативная.

2. Hg=He=H "Hg, H: HgH=HgHe=Hge=Hg, т. е. Н-выполняет роль нейтрального элемента на фактор-множестве.

3.Hg, Hg^-1 : HgHg^-1 =Hgg^-1 =He=H;

Hg^-1 Hg=Hg^-1 g=He=H, семейство класса Hg^-1 выполняет роль обратного для Hg,

т.е. (Hg)^-1 =Hg^-1 .

так как все аксиомы имеют место, то мы имеем дело с группой. Ее обозначают G/H и называют фактор-группой.

Вопрос 6 Элементы теории колец.

В вопросе требуется ввести понятие кольца, рассмотреть классификацию колец и построить фактор-кольцо.

Так как кольцо это пример одной из алгебр, то следует напомнить определение алгебры.

Опр.1

Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств <A,U>, где А0

множество элементов любой природы, а U-множество операций.

Для введения определения кольца необходимо рассмотреть непустое множество и задание операций.

Опр.2

Кольцом называется алгебра < K,+,> с двумя бинарными операциями, которые