Шпаргалка: Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра

Для доказательства выполним следующие процедуры:

1) зададим операции и проверим их корректность;

2) операции подчиняются аксиоматике кольца.

- 1).К_а +К_в =К_а+в , К_а К_в =К_ав

К_а , К_в покажем, что а+в

К_а , а+вК_а+в , К_вав

Покажем, что К_{а+в ,} К_ав

Если и

_а+в

_ав

что доказывает, что введённые операции корректны, т.е. являются алгебраическими.

2).К_а +(К_в +К_с )=К_а +К_в+с =К_а+(в+с) =К_(а+в)+с =К_(а+в) +К_с =(К_а +К_в )+К_с сложение ссоциативно

К_а +К_в =К_а+в =К_в+а =К_в +К_а сложение коммутативно;

К_а +К₀ =К_а+0 =К_а К₀ = I идеал выполняет роль нулевого элемента относительно сложения;

К_а +К_(-а) = К_а+(-а) = К₀ = I К_(-а) = -К_а –противоположные классы

К_а ^. (К_в ^. К_с ) = К_а ^. К_вс =К_а(вс) =К_(ав)с =К_ав ^. К_с = (К_а ^. К_в )^. К_с

К_а ^. (К_в +К_с ) = К_а К_в+с = К_а(в+с) = К_ав+ас = К_ав +К_ас

Всё рассмотренное доказывает выполнимость аксиоматики кольца, поэтому - кольцо. Оно обозначается и называется фактор-кольцом кольца К по идеалу I .

Кроме отношения сравнения по идеалу I в кольце рассматривается ещё отношение-

“ отношение делимости “. Рассмотрим его.

Опр. 7

Элемент называется делящимся на элемент в кольце К, если существует

такое , что а=вс. а – называется делимое, в –делитель, с –частное. И обозначается “ M ,,

Отношение делимости позволит ввести ещё одно отношение – ассоциативности элементов - “ ~ ,, а ~в а M в / в M а.

Элемент называется обратимым в К если для него существует такое, что

ав =1. Элементы а и в называют так же делителями единицы.

Отношение делимости обладает рядом свойств, оно является нестрогим числовым порядком, т.е.

1⁰ “ M ,, - рефлексивно : а0, а M а.

2⁰ “ M ,, - антисимметрично : а M в, в M а Þ а = в.