Шпаргалка: Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра

полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента a_ij называется число (-1)^i+j М_ij

Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца).

Теорема 3 . |A|= a_1j A_1j +a_2j A_2j +....+a_nj A_nj или

|A|=a_i1 A_i1 +a_i2 A_i2 +...+a_in A_in .

Доказательство разобьем на три случая:

C лучай 1 . a₁₁ …a_1n

|A|= a₂₁ …a_2n = a_nn M_nn

………

0……a_nn

Воспользуемся для доказательства определением определителя

|A|=åsgn(t)a_{1 t (1)} a_{2 t (2)} …a _{n-1, t (n-1)} a _{n t (n)}

Так как в n-ой строке все элементы кроме a_nn нули, то все слагаемые в определителе кроме a_nn равны нулю. Тогда определитель такой матрицы равен:

sgn(t) a_{1 t (1)} a _{2 t (2)} ....a _{n-1, t (n-1)} a _{n n} =a _{n n} (sgn(t’) a _{1 t (1)} a _{2 t (2)} ...a _{n-1, t (n-1)} ),где

t = 1 2 ... n-1 n t’ = 1 2 ... n-1

t ₍₁₎ t ₍₂₎ ... t_(n-1) t_(n) , t₍₁₎ t₍₂₎ ... t_(n) , т.к

t = 1 2 ... n-1 n = 1 2 .... n

t₍₁₎ t₍₂₎ ... t_(n-1) t_(n [D2] ₎ t₍₁₎ t₍₂₎ ... t_(n) ,то sgn (t) =sgn(t’).

Мы видим, что в скобках определитель порядка (n-1),полученного вычеркиванием n-ой строки и n-ого столбца. Поэтому

|A|=a_nn M_nn , что и требовалось доказать.

Случай 2 .

a ₁₁ ... a _1j .. a _1n

|A|= ................................. = a _ij A _ij

0 ... a _ij ... 0

..................................

a _n1 ... a _nj ... a _nn

Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим:

A_{11 ...} a_1j ... a_1n a₁₁ .. a_1j ..a_1n a₁₁ .. a_1n .. a_1j