Сочинение: Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

********

Примечание

То, что - нечетное число при и - нечетных , хорошо известный факт в теории чисел.

Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома

Ньютона , , , … и тогда получим для :

- сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для :

- сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для степени - простой можно доказать, что при и нечетных

(3) - сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23).

*******

Пусть (4),

где - нечетное число (на основании (3) ).

Тогда уравнение (2) примет вид:

(5),

где - четное число, которое можно представить в виде

(6),

где - целое число (при = 0 а = 0 , что противоречит нашему допущению),

(4) – нечетное число.

Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:

, т.е. (7), где - целое число (), - натуральное число.

Сумму же нечетных чисел и обозначим через , т.е.

(8),

где - целое число (, т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).

Из (7) и (8) определим и :

=> =>

Откуда (11) - нечетное число при - нечетном и - четном, т.к. , причем (12) (явно) при .

********

Вывод: