Сочинение: Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

из соотношений (7) и (12) имеем: (14) (явно) при .

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и . Учитывая соотношения (9) и (10), получим:

Таким образом, получили следующее уравнение:

(15),

где - целые числа , которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:

(16) - нечетное число при - нечетном;

(17) - нечетное число при - нечетном;

(18) - нечетное число при - нечетном;

(19) - четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать

t =0 иr =0 (при t =0 и - четные из (16) и (17), при r =0 = 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).

*******

Примечание.

Общий вид уравнения (15) следующий:

(20) ,

целыми решениями которого (это известный факт в теории чисел ) являются:

(21) ;

(22) ;

(23) ;

(24) , где - целые числа.

То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество .

*******

Для простоты обозначим правые части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.

= С

= В

= N