Сочинение: Три задачи по теории чисел

n = 4

(α² +cβ² )⁴ = (α⁴ - 6cα² β² +c² β⁴ )² +c(4α³ β – 4cαβ³ )²

n = 5

(α² +cβ² )⁵ = (α⁵ - 10cα³ β² +5c² αβ⁴ )² +c(5α⁴ β – 10cα² β³ +c² β⁵ )²

n = 6

(α² +cβ² )⁶ = (α⁶ - 15cα⁴ β² +15c² α² β⁴ -c³ β⁶ )² +c(6α⁵ β – 20cα³ β³ +6c² αβ⁵ )²

n = 7

(α² +cβ² )⁷ = (α⁷ - 21cα⁵ β² +35c² α³ β⁴ -7c³ αβ⁶ )² +c(7α⁶ β –

-35cα⁴ β³ +21c² α² β⁵ -c³ β⁷ )²

Анализируя эти тождества, приходим к общему тождеству общего уравнения

aⁿ = b² + cd² (1) :

(α² + cβ² )ⁿ = (αⁿ – k₃ cα^{n -2} β² + k₅ c² α^{n -4} β⁴ – k₇ c³ α^{n -6} β⁶ +…)² +

+ c(nα^{n -1} β – k₄ cα^{n -3} β³ + k₆ c² α^{n -5} β⁵ – k₈ c³ α^{n -7} β⁷ )² (25)

где в правой части тождества 25 в обеих скобках слагаемые представляют собой слагаемые бинома Ньютона

(α + β)ⁿ , умноженных на ±c^m , где m = 0,1,2,3…,

знак «+», если m-четное,

k_i – биноминальные коэффициенты, где i= 3,4,5,…,

k₁ = 1 - первые два биноминальных коэффициента при αⁿ и α^n-1 β.

k₂ = n

Глядя на уравнение (1) и тождество (25), определяем, что решением уравнения (1) aⁿ = b² + cd² являются:

a = α² + cβ²

b = αⁿ – k₃ cα^{n -2} β² + k₅ c² α^{n -4} β⁴ – k₇ c³ α^{n -6} β⁶ +…

d = nα^{n -1} β – k₄ cα^{n -3} β³ + k₆ c² α^{n -5} β⁵ – k₈ c³ α^n-7 β⁷ +…, ч.т.д.

Утверждение. ( n>1-любое натуральное)

Уравнение aⁿ = b² + cd² (1), где c = const, имеет следующее решение:

a = α² + cβ²

(2) b = αⁿ – k₃ cα^{n -2} β² + k₅ c² α^{n -4} β⁴ – k₇ c³ α^{n -6} β⁶ +…

d = nα^{n -1} β – k₄ cα^{n -3} β³ + k₆ c² α^{n -5} β⁵ – k₈ c³ α^{n -7} β⁷ +…,

k_i – биноминальные коэффициенты степени n,