Сочинение: Три задачи по теории чисел
n=4
Пусть в тождестве (2) (x2 +cy2 )(u2 +cυ2 ) ≡ (xu-cyυ)2 +c(xυ+yu)2
a = x2 +cy2
a3 = u2 +cυ2 (5)
тогда имеем соотношение (x2 +cy2 )3 = u2 +cυ2 (6), которое есть ничто иное, как уравнение (1) с n=3: a3 = b2 + cd2 (3) (см. случай n=3).
Учитывая (3') и (6), получаем:
а = x2 +cy2 = α2 +cβ2 (7')
u = α3 -3cαβ2 (7) (7'')
υ = 3α2 β-cβ3 (7''')
Учитывая формулы (10) и (11) в доказательстве Утверждения1 (x=α , y=β (8)) при нахождении решения уравнения (1) для n=3, автоматически распространим его и при нахождении решения уравнения (1) для n>3. Тогда, с учетом (5) тождество (2) принимает вид:
a4 = (xu-cyυ)2 + c(xυ+yu)2 => a4 = b2 + cd2 (9)
где
a = x2 +cy2
b = xu-cyυ (10)
d = xυ+yu
Учитывая (8), (7'),…, (7'''), запишем a, b, d в системе (10) через α и β:
a = α2 +cβ2
b =xu-cyυ=α(α3 -3cαβ2 )-cβ(3α2 β-cβ3 )=α4 -3cα2 β2 -3cα2 β2 +c2 β4 = α4 -6cα2 β2 +c2 β4
d = xυ+yu=α(3α2 β-cβ3 )+β(α3 -3cαβ2 )=3α3 β-cαβ3 +βα3 -3cαβ3 = 4α3 β-4cαβ3
Итак, уравнение (9) a4 =b2 +cd2 имеет следующее решение:
a = α2 + cβ2
b = α4 -6cα2 β2 +c2 β4 (11) и соответствующее тождество:
d = 4α3 β - 4cαβ3
(12) (α2 +сβ2 )4 ≡(α4 -6сα2 β2 +с2 β4 )2 +с(4α3 β-4сαβ3 )2
Пример:
при α = β = 1 и с = 2 => 34 = (1-12+4)2 +2·(4-8)2 => 81 ≡ 49 + 32.
n=5
Рассуждения аналогичны.
Пусть в тождестве (2) (x2 +cy2 )(u2 +cυ2 ) ≡ (xu-cyυ)2 +c(xυ+yu)2
a = x2 +cy2 (13)