Сочинение: Три задачи по теории чисел
a4 = u2 +cυ2
(x2 +cy2 )4 = u2 +cυ2 которое есть ничто иное, как уравнение (1) с n=4: (9) a4 =b2 +cd2 ) (см. случай n=4), решение которого есть система (11). Отсюда:
a =x2 +cy2 =α2 +cβ2
u =α4 -6cα2 β2 +c2 β4 (14)
υ =4α3 β-4cαβ3
С учетом (13) тождество (2) принимает вид:
a5 = (xu-cyυ)2 + c(xυ+yu)2 => a5 =b2 +cd2 (15)
где
a = x2 +cy2
b = xu-cyυ (16)
d = xυ+yu
Учитывая (8) (x=α , y=β) и (14), запишем a,b,d в системе (16) через переменные α и β:
a = α2 + cβ2
b = xu-cyυ =α(α4 -6cα2 β2 +c2 β4 )-cβ·(4α3 β-4cαβ3 )=
=α5 -6cα3 β2 +αc2 β4 -4cα3 β2 +4c2 αβ4 = α5 -10cα3 β2 +5c2 αβ4
d = xυ+yu =α(4α3 β-4cαβ3 )+β(α4 -6cα2 β2 +c2 β4 )=
=4α4 β-4cα2 β3 +α4 β-6cα2 β3 +c2 β5 = 5α4 β-10cα2 β3 +c2 β5
Итак, уравнение (15) a5 =b2 +cd2 имеет следующие решения:
a=α2 +cβ2
d=5α4 β-10cα2 β3 +c2 β5 (17)
b=α5 -10cα3 β2 +5c2 αβ4
и соответствующее тождество:
(α2 +cβ2 )5 =(α5 -10cα3 β2 +5c2 αβ4 )2 +c(5α4 β-10cα2 β3 +c2 β5 )2 (18)
Пример:
при α=β=1 и с=2 =>
=> 35 = (1-20+20)2 +2·(5-20+4)2 = 12 +2·112 => 35 = 12 +2·112 = 243
n=6
Решение уравнения a6 =b2 +cd2 (19) находятся аналогично. Доказательство опирается на известные решения уравнения предыдущей степени, т.е. n=5. Уравнение (19) имеет следующее решение:
a = α2 + cβ2