Сочинение: Три задачи по теории чисел

Следовательно, система уравнений неразрешима в ненулевых рациональных числах x, y, z , где R – рациональное число (R≠0).

Задача 2

Утверждение 1

Пусть р₁ , р₂ , р₃ и р₄ являются рациональными ненулевыми числами, причем (1). Тогда произведение не может равным ни , то есть не может выполняться соотношение

(2)

где = 1;2;3;4 и если - рациональное число.

Доказательство

Положим . Очевидно, x, y и z – это рациональные ненулевые числа, так как рациональными ненулевыми числами являются р₁ , р₂ , р₃ . Так как р₁ , р₂ , р₃ в (1) и (2) равноправны, то за в (2) мы можем принять любое из них, т.е. = 1;2;3. Пусть для определенности (3), тогда р₄ на основании (1) принимает вид:

(4)

Таким образом, замена р₁ , р₂ , р₃ на x, y и z является обратимой (число р₄ в обоих случаях является зависимой переменной).

Предположим теперь, что Утверждение 1 неверно, и число

Тогда имеем:

(5)

где x, y и z – ненулевые рациональные числа, а (5) равносильно

(6)

Действительно, можно из уравнения (6) получить (5):

, (6)

, ,

,

(5), что и требовалось доказать.

Обозначим . Тогда (6) примет вид: . Так как x, y и z - рациональные числа, то и числа A, B и C также рациональные числа. Но тогда они будут рациональными решениями уравнения Ферма 3-й степени , которое, как хорошо известно, неразрешимо в рациональных числах.

Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

Примечание:

1). Легко понять, что суммой P₄ в (1) может быть являться любое из слагаемых (например: ), а произведение новых членов остается прежним, то есть

,

где i может принимать и значение 4, тогда в произведении

2). . А если А = 0, или В = 0? Ведь в этом случае могут, наверно, появиться и ненулевые рациональные числа р₁ , р₂ , р_3, R, удовлетворяющие условию нашего Утверждения! Покажем, что они не появятся.