Сочинение: Три задачи по теории чисел
а = α2 + cβ2 b = α3 - 3cαβ2
d = 3α2 β - cβ3 , где α и β - произвольные числа, ч.т.д..
Утверждение 2. (n = 2;3;4;5;6;7)
Уравнение an =b2 +cd2 (1), где c = const, имеет следующее решение:
a=α2 +cβ2
b=αn -κ3 cαn -2 β2 +κ5 c2 αn -4 β4 -κ7 c3 αn -6 β6 +…
d=nαn -1 β-κ4 cαn -3 β3 +κ6 c2 αn -5 β5 -κ8 c3 αn -7 β7 +…,
где κi - биноминальные коэффициенты степени n, где i = 3;4;5;6;7;8;…;
κ1 =1 - первые два биноминальных коэффициента в
κ2 = п биноме Ньютона при αn и αn -1 β;
n - натуральная степень (n>1).
Доказательство
(методом анализа частных случаев, когда n = 2;3;4;5;6;7)
I этап
Рассмотрим частные случаи.
Нам уже известны решения уравнения (1) an =b2 +cd2 для степени n=2 и n=3 (смотри доказательствоУтверждение1).
n = 2
(2) a2 = b2 + cd2 , где
a=α2 +cβ2
b=α2 -cβ2 (2') - при этих значениях a, b и c уравнение (2) превращается в d=2αβ тождество (α2 +cβ2 )2 ≡ (α2 -cβ2 )2 +c(2αβ)2 (2'').
n=3
(3) a3 =b2 +cd2 ,
где
a=α2 +cβ2
b=α3 -3cαβ2 (3') - при этих значениях a,b и c уравнение (3) превращается в d=3α2 β-cβ3 тождество (α2 +сβ2 )3 ≡ (α3 -3сαβ2 )2 +с(3α2 β-сβ3 )2 (3'').
Пример: при α = β = 1 и c=2 имеем верное равенство:
(1+2·1)3 = (1-3·2·1)2 + 2·(3-2·1)2 
33 ≡ 52 +2·12
Напомню, что при нахождении решения уравнения (1) для степени n = 3 мы в доказательстве Утверждения1опирались на тождество (2)
(x2 +cy2 )(u2 +cυ2 ) ≡ (xu-cyυ)2 +c(xυ+yu)2 ,