Сочинение: Три задачи по теории чисел

Действительно, если, например,

то из В = С

= x = 0 x = 0 х=0, что противоречит нашему утверждению.

Аналогичные рассуждения и для В=0.

Утверждение 2

Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами, причем для всех x. Тогда функция ни в одной рациональной точке x не может быть равной ни , то есть не может выполняться соотношение .

Доказательство

Действительно, при каждом фиксированном рациональном x мы получаем утверждение для рациональных чисел, которое сформировано в предыдущем Утверждении 1, что и требовалось доказать.

Утверждение 3.

Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами от нескольких переменных x, y, z , …, причем для всех x, y, z, …. Тогда функция ни в одной из рациональных точек x, y, z, … не может быть равной ни

то есть не может выполняться соотношение

где i=1;2;3;4

Доказательство

Действительно, при каждом фиксированном рациональном x, y, z, … мы получаем утверждение для рациональных чисел, то есть Утверждение 1, что и требовалось доказать.

Где и как можно использовать вышеприведенные утверждения?

Для анализа разрешимости некоторых уравнений в рациональных числах практически по внешнему виду.

Примеры

1.

где x² – второе слагаемое, которое при рациональном x является рациональным числом => уравнение не разрешимо в рациональных числах.

2.

где x – второе слагаемое, которое при рациональном x – рациональное число. не разрешимо в рациональных числах.

3.

где y – третье слагаемое, которое при рациональном y – рациональное число не разрешимо в рациональных числах.

Следствие

Система уравнений

неразрешима в рациональных числах, где - переменные (не равные 0).