Сочинение: Три задачи по теории чисел
Утверждение (n=3) Уравнение
a3 = b2 + cd2 (1)
где с = const, имеет следующее решение:
a = α2 + cβ2 b = α3 - 3cαβ2 d = 3α2 β - cβ3
где α и β - произвольные числа.
Доказательство
Рассмотрим тождество
(2) (x2 +cy2 )(u2 +cυ2 )≡(xu-cyυ)2 +c(xυ+yu)2
где с = const (некоторое число); x,y,u,υ - переменные (произвольные числа).
Если один из 2x сомножителей в скобках левой части тождества (2) является квадратом другого (например: (x2 +cy2 )2 =u2 +cυ2 ), то тождество (2) можно записать не через четыре переменных x,y,u,υ, а только через две (α и β), где α и β-другие переменные.
Действительно, если (x2 +cy2 )2 =u2 +cυ2 (3), общий вид которого
(4) a1 2 =u2 +cυ2 (случай, когда(n=2)), а его решения (это специалистам известно):
(5) a1 =α2 +cβ2 ,
(6) u=α2 -cβ2 ,
(7) υ=2αβ, где α и β-произвольные числа ((эти решения специалистам известны).
(Действительно, если в (4) подставить его решения (5), (6) и (7), то получим тождество: (α2 +cβ2 )2 ≡ (α2 -cβ2 )2 +c(2αβ)2 (8). Следовательно, имеем следующее:
(9) x2 +cy2 =α2 +cβ2
(6) u=α2 -cβ2
(7) υ=2αβ
Уравнение (9) обращается в тождество при x=α (10) и y=β (11), значит
(10) и (11) являются решениями (9).
Учитывая (3), тождество (2) запишется в виде уравнения:
(x2 +cy2 )(x2 +cy2 )2 =(xu-cyυ)2 +c(xυ+yu)2 =>
=> (12) (x2 +cy2 )3 =(xu-cyυ)2 +c(xυ+yu)2
Учитывая (6), (7), (10) и (11), уравнение (12) запишется:
(α2 +сβ2 )3 =[α·(α2 -cβ2 )-cβ·2αβ]2 +c[α·2αβ+β(α2 -cβ2 )]2 =
=[α3 -cαβ2 -2cαβ2 ]2 +c[2α2 β+βα2 -cβ3 ]2 =(α3 -3cαβ2 )2 +c(3α2 β-cβ3 )2 =>
=> (13) (α2 +cβ2 )3 ≡(α3 -3cαβ2 )2 +c(3α2 β-cβ3 )2
где α и β - произвольные.