Сочинение: Три задачи по теории чисел
d = 6α5 β - 20cα3 β3 + 6c2 α
и соответствующее тождество:
(α2 + cβ2 )6 = (α6 - 15cα4 β2 + 15c2 α2 β4 - c3 β6 )2 + c(6α5 β - 20cα3 β3 + 6c2 αβ5 )2 (21)
Пример:
при α = β = 1 и c = 2 имеем:
36 =(1- 30 + 60 - 8)2 + 2(6 – 40 + 24)2 =
= 232 + 2 × (-10)2 => 36 ≡ 232 + 2 × (-10)2 ≡ 725.
n=7
Аналогичные рассуждения приводят к тому, что уравнение
(22) a7 = b2 + cd2 имеет следующее решение:
 |
a = α2 + cβ2
b = α7 - 21cα5 β2 + 35c2 α3 β4 - 7c3 αβ6 (23)
d = 7α6 β - 35cα4 β3 + 21c2 α2 β5 – c3 β
а соответствующее тождество:
(24) (α2 + cβ2 )7 ≡
≡(α7 - 21cα5 β2 + 35c2 α3 β4 -7c3 α6 β7 )2 +24+ c(7α6 β - 35cα4 β3 + 21c2 α2 β5 – c3 β7 )
Пример:
при α = β = 1 и c = 2 имеем:
37 = (1- 42 + 140 - 56)2 + 2(7 – 70 + 84 - 8)2 =
= 432 + 2×132 => 37 ≡ 432 + 2×132 ≡ 2187.
ІІ этап
Получение общего решения уравнения
(1) an =b2 + cd2
(Напомним, доказательство не строгое, опирается на частные случаи)
Выпишем все тождества, полученные для каждой степени
n = 2; 3; 4; 5; 6; 7;
n = 2
(α2 +cβ2 )2 = (α2 – cβ2 )2 + c(2αβ)2
n = 3