Сочинение: Три задачи по теории чисел

b = αu – cβυ = α(первая скобка) – cβ(вторая скобка) =

= α(α^n-1 -k_3/n-1 cα^n-3 β² + k_5/n-1 c² α^n-5 β⁴ -k_7/n-1 c³ α^n-7 β⁶ +...)

- cβ(k_2/n-1 α^n-2 β – ck_4/n-1 α^n-4 β³ + c² k_6/n-1 α^n-6 β⁵ –

– c³ k_{8/ n -1} α^{n -8} β⁷ +…) =

= (αⁿ – ck_{3/ n -1} α^{n -2} β² + c² k_{5/ n -1} α^{n -4} β⁴ – c³ k_{7/ n -1} α^{n -6} β⁶ +…) +

+ (-ck_{2/ n -1} α^{n -2} β² + c² k_{4/ n -1} α^{n -4} β⁴ – c³ k_{6/ n -1} α^{n -6} β⁶ +

+ c⁴ k_{8/ n -1} α^{n -8} β⁸ -…) =

= αⁿ – c(k_{2/ n -1} + k_{3/ n -1} )α^{n -2} β² + c² (k_{4/ n -1} + k_{5/ n -1} ) +

+ α^{n -4} β⁴ - c³ (k_{6/ n -1} + k_{7/ n -1} )α^{n -6} β⁶ +…=

= αⁿ - ck₃ α^{n -2} β² + c² k₅ α^{n -4} β⁴ -c³ k₇ α^{n -6} β⁶ +….

b = αⁿ - ck₃ α^{n -2} β² + c² k₅ α^{n -4} β⁴ -c³ k₇ α^{n -6} β⁶ +… (7)

где (8) k_ί = k_ί-1/n-1 + k_ί/n-1 – биноминальные коэффициенты для степени n;

ί = 3;5;7;…;

k₁ = 1 – первый биноминальный

коэффициент при αⁿ в (7);

k_ί-1/n-1 и k_ί/n-1 – два биноминальных последовательных

коэффициента для степени n – 1.

Соотношение (8) - это одно из свойств биноминальных коэффициентов в «Треугольнике Паскаля»:

Каждый из биноминальных коэффициентов равен сумме двух биноминальных коэффициентов, стоящих над ним.

«Треугольник Паскаля»

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Теперь найдем выражение для d:

d = αυ + βu = α(вторая скобка) + β(первая скобка) =