Сочинение: Три задачи по теории чисел

k₁ = 1 первые два биноминальных

k₂ = n коэффициента для степени n,

n – натуральная степень (n > 1)

Общее доказательство

(Метод математической индукции)

Итак, нами доказана справедливость найденного решения (2)

уравнения (1) для степеней n = 2; 3; 4; 5; 6; 7.

Предположим, что решение (2) справедливо и для степени n–1.

Тогда, обозначив биноминальные коэффициенты для этой степени k_i/n-1 , где i = 1; 2; 3…, (k_1/n-1 = 1, k_2/n-1 = n-1), можно записать тождество:

(3) (α² +cβ² )^n-1 ≡

≡ (α^n-1 – k_3/n-1 cα^n-3 β² + k_5/n-1 c² α^n-5 β⁴ – k_7/n-1 c³ α^n-7 β⁶ +…)² +

(первая скобка)

+ c(k_2/n-1 α^n-2 β – ck_4/n-1 α^n-4 β³ + c² k_6/n-1 α^n-6 β⁵ – c³ k_8/n-1 α^n-8 β⁷ + …)² ⇒

(вторая скобка)

⇒ (α² + cβ² )^n-1 ≡ (первая скобка)² + c(вторая скобка)² (3')

При нахождении решений уравнения (1) для частных случаев (n = 2; 3; 4; 5; 6; 7) мы использовали соотношение:

(4) aⁿ = (xu - cyυ)² + c(xυ + yu)² ,

где n = 2; 3;…7.

x = α

y = β

a = x² + cy² = α² + cβ²

(5) b = xu – cyυ = αu – cβυ

d = xυ + yu = αυ + βu

где, в свою очередь

u = (первая скобка)

υ = (вторая скобка), для n = 2; 3; 4; 5; 6; 7 в соотношении (3) (или (3'))

Аналогично рассуждая, попробуем доказать справедливость теоремы для произвольной степени n, предположив, что она справедлива для степени n – 1

Это значит, что надо исследовать решение (5) уравнения (4) (или, что тоже, уравнения (1)) для произвольной степени n.

Итак, пусть для произвольной степени n