Сочинение: Три задачи по теории чисел

– c³ k_{8/ n -1} α^{n -8} β⁷ +…) +

+ β(α^{n -1} -ck_{3/ n -1} cα^{n -3} β² + k_{5/ n -1} c² α^{n -5} β⁴ -k_{7/ n -1} c³ α^{n -7} β⁶ +...) =

= k_{2/ n -1} α^{n -1} β – ck_{4/ n -1} α^{n -3} β³ + c² k_{6/ n -1} α^{n -5} β⁵ –

– c³ k_{8/ n -1} α^{n -7} β⁷ +…+ α^{n -1} β – ck_{3/ n -1} α^{n -3} β³ + c² k_{5/ n -1} α^{n -5} β⁵ –

– c³ k_{7/ n -1} α^{n -7} β⁷ +…=

= (1 + k_{2/ n -1} ) α^{n -1} β – c(k_{3/ n -1} + k_{4/ n -1} ) α^{n -3} β³ + c² (k_{5/ n -1} + k_{6/ n -1} ) α^{n -5} β⁵ – c³ (k_{7/ n -1} + k_{8/ n -1} ) α^{n -7} β⁷ +…=

= k₂ α^{n -1} β – ck₄ α^{n -3} β³ + c² k₆ α^{n -5} β⁵ – c³ k₈ α^{n -7} β⁷ +….

d = k₂ α^{n -1} β – ck₄ α^{n -3} β³ + c² k₆ α^{n -5} β⁵ – c³ k₈ α^{n -7} β⁷ +… (9),

где (8) k_ί = k_ί-1/n-1 + k_ί/n-1 - – биноминальные коэффициенты для степени n; (вышеупомянутое свойство

биноминальных коэффициентов(8));

ί = 2;4;6;8;…;

k₂ = n - второй биноминальный

коэффициент для степени n;

k_ί-1/n-1 и k_ί/n-1 – два биноминальных последовательных коэффициента для степени n – 1.

Итак, учитывая (5), (6), (7), (9), уравнение (4) принимает вид:

aⁿ = b² + cd² (1), где

a = α² + cβ²

b = αⁿ – c k₃ α^n-2 β² + c² k₅ α^n-4 β⁴ – c³ k₇ α^n-6 β⁶ +…

d = nα^n-1 β – c k₄ α^n-3 β³ + c² k₆ α^n-5 β⁵ – c³ k₈ α^n-7 β⁷ +…,

являются решениями уравнения (1) при c = const;

k_i – биноминальный коэффициент степени n;

i = 3; 4; 5; 6; 7; 8…;

k₁ = 1, k₂ = n, n > 1 - натуральная степень.

Утверждение доказано.

Скворцов Александр Петрович, учитель, ветеран педагогического труда;

г. Колпашево Томской области, август 2009.

Первая задача рецензирована в 1996 г. доктором физико математических наук.

Все три задачи чуть позже рецензированы томским специалистом математиком Тимошенко Е. (к сожалению, ни имени, ни отчества его я не знаю), которого для этой цели по моей просьбе нашел ректор ТПУ Похолков Юрий Петрович, за что я им всем очень и очень благодарен.

Отзыв специалистов о моей работе неплохой. Вот выдержка из «Рецензии на работу Скворцова А.П. «Несколько задач, теорем и утверждений по теории чисел»» Тимошенко Е.: «В данной работе особый интерес представляют доказательства неразрешимости в рациональных ненулевых числах уравнения р₁ + р₂ = р_{3 ,} где р₁ * р₂ * р₃ = R³ , где R – рациональное число (Задача 1. Автор), и неразрешимости в рациональных ненулевых числах системы , (Задача 2. Автор).