Сочинение: Три задачи по теории чисел

Примечание. А если А = 0, или В = 0? Ведь в этом случае могут, наверно, появиться и ненулевые рациональные числа р₁ , р₂ , р_3, R, удовлетворяющие условию нашего Утверждения! Покажем, что они не появятся.

Если В = r – q = 0, то r = q.

Отсюда, учитывая

имеем ) = 0

откуда следует не только из

r = q (что ожидаемо), но и r = 0 r = q = 0 R=0, что противоречит условию нашего «Утверждения», ч.т.д.

Для А = r + q = 0 рассуждения аналогичные.

Теперь сформулируем некоторое обобщение нашего Утверждения 1 на рациональные функции. Напомним, что рациональной функцией называется выражение вида , где p(x) и q(x) – некоторые многочлены. Заметим, что и многочлены и даже числа являются частным случаем рациональных функций при соответствующем выборе коэффициентов многочленов p(x) и q(x).

Утверждение 2

Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами, причём для всех x. Тогда функция ни в одной рациональной точке x не является кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть
либо , где R – рациональное число (R ≠ 0);
либо , где R(x) – рациональная функция, которая при каждом фиксированном рациональном x является рациональным числом.

Доказательство

Действительно, при каждом фиксированном рациональном x мы получаем утверждение для рациональных чисел, которое сформулировано в предыдущем Утверждении 1, что и требовалось доказать.

Утверждение 3

Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами от нескольких переменных x, y, z,…, причем для всех x, y, z,….

Тогда функция ни в одной из рациональных точек x, y, z,… не является кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть либо:

где R - рациональное число (R ≠ 0);

либо

где R(x,y,z,…) – рациональная функция, которая при каждом фиксированном рациональном x, y, z,… является рациональным числом.

Доказательство

Действительно, при каждом фиксированном рациональном x, y, z,… мы получаем утверждение для рациональных чисел, то есть Утверждение 1, что и требовалось доказать.

Где и как можно использовать вышеприведенные утверждения?

Для анализа неразрешимости некоторых уравнений в рациональных числах практически по внешнему виду.

Примеры:

1. - куб рациональной функции R(x) = 3x² , которая при рациональном x является рациональным числом. Следовательно, уравнение неразрешимо в рациональных числах.

2. - куб рациональной функции R(x) = неразрешимо в рациональных числах.

3. - куб рационального числа 3, отсюда неразрешимо в рациональных числах

4. - куб рациональной функции R(x,y) = не разрешимо в рациональных числах