Учебное пособие: Исследование функций и построение их графиков
Сократим дробь на множитель и вычислим ее при
Пример 4.
Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что возникает неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение
, являющееся сопряженным к знаменателю
= .
Пример 5. .
Решение. Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на
(в более общем случае, когда числитель и знаменатель представляют многочлены разных степеней, делят на
с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя). Используя свойства пределов, получим:
.
Пример 6. .
Решение. При имеем неопределенность вида
. Представим
, разделим и умножим числитель и знаменатель на числа 2, 5 и
, тогда предел преобразуется к виду:
.
Пользуясь свойствами пределов и первым замечательным пределом, далее имеем:
.
Пример 7. .
Решение. Имеем неопределенность вида [], так как
, а
.
Выделим у дроби целую часть
.
Введем новую переменную и выразим отсюда
через
:
. Тогда
Заметим, что при переменная
. Теперь, переходя к новой переменной и используя второй замечательный предел, получим:
=.
Неопределенности вида путем алгебраических преобразований приводятся к виду
. Неопределенности вида
,
можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствующую функцию. Неопределенности вида
можно исключить, используя правило Лопиталя, которое изложено в конце темы 2.
Пример 8. Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно
% годовых. Необходимо найти размер вклада
через
лет при непрерывном начислении процентов. Решить задачу при
=10,
=5%,
=20 лет.
Решение. При % годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в
раз, т.е.
.
Если начислять проценты по вкладам не один раз в год, а раз, то размер вклада за
лет при
начислениях составит