Учебное пособие: Исследование функций и построение их графиков

Тогда ,

=

Производную второго слагаемого найдем по правилу дифференцирования степенно-показательной функции. Прологарифмируем функцию : Дифференцируем левую и правую часть полученного равенства

Отсюда

Наконец, находим производную искомой функции

Пример 4. На основе опытных данных построена математическая модель спроса населения на некоторый товар в зависимости от цены :

.

Определить эластичность спроса при (в условных денежных един.).

Решение. Эластичностью спроса называют предел отношения относительного приращения спроса к относительному приращению цены при :

.

Если >1, то спрос называют эластичным, при <1 – неэластичным, а при нейтральным.

Найдем производную

.

Тогда

.

Определим эластичность спроса при :. Таким образом, при такой цене имеем неэластичный спрос.

Правило Лопиталя. При нахождении пределов функций (тема 1) неопределенности вида можно исключить, применяя правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т. е.

Если (или ), то правило Лопиталя можно использовать вторично, т.е.

В общем случае правило Лопиталя можно применять неоднократно.

Пример 5. Найти

Решение. Для раскрытия неопределенности применим правило Лопиталя.