Учебное пособие: Исследование функций и построение их графиков
Тогда ,
=
Производную второго слагаемого найдем по правилу дифференцирования степенно-показательной функции. Прологарифмируем функцию
:
Дифференцируем левую и правую часть полученного равенства
Отсюда
Наконец, находим производную искомой функции
Пример 4. На основе опытных данных построена математическая модель спроса населения на некоторый товар в зависимости от цены
:
.
Определить эластичность спроса при (в условных денежных един.).
Решение. Эластичностью спроса называют предел отношения относительного приращения спроса
к относительному приращению цены
при
:
.
Если >1, то спрос называют эластичным, при
<1 – неэластичным, а при
нейтральным.
Найдем производную
.
Тогда
.
Определим эластичность спроса при :
. Таким образом, при такой цене имеем неэластичный спрос.
Правило Лопиталя. При нахождении пределов функций (тема 1) неопределенности вида можно исключить, применяя правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т. е.
Если (или
), то правило Лопиталя можно использовать вторично, т.е.
В общем случае правило Лопиталя можно применять неоднократно.
Пример 5. Найти
Решение. Для раскрытия неопределенности применим правило Лопиталя.