Учебное пособие: Исследование функций и построение их графиков

Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной :

Если функция, производную которой нужно найти, представляет из себя комбинацию элементарных функций, то для вычисления производной применяются правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций, приводимая ниже.

Таблица 2.

№	функция	производная	№	функция	производная
1			7		1/
2			8		-1/
3		1/	9		1/()
4			10		-1/()
5			11		1/(1+)
6		-	12		-1/(1+)

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Представим ее как сложную функцию. Пусть , тогда и . Найдем производную по промежуточному аргументу как степенной функции

.

В свою очередь, промежуточный аргумент представляется в виде суммы двух степенных функций минус постоянная, поэтому, используя правила 1-3,по-лучим

=.

Отсюда производная искомой функции

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Обозначим, . Тогда и искомая производная находится из формулы .

Производную находим из таблицы производных элементарных функций

.

Второй сомножитель представляет производную от степенной функции

Наконец, последняя производная находится по правилам дифференцирования частного

==.

В итоге получаем искомую производную

.

Пример 3. Наити производную

.

Решение. Производная суммы двух функций есть сумма их производных

.