Учебное пособие: Исследование функций и построение их графиков

то прямая является наклонной асимптотой графика функции. Наклонная асимптота также может быть правосторонней () или левосторонней ().

Функция называется возрастающей на множестве , если для любых , таких, что >, выполняется неравенство: > (убывающей, если при этом:

<).

Множество в этом случае называют интервалом монотонности функции.

Справедливо следующее достаточное условие монотонности функции: если производная дифференцируемой функции внутри множества положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) на этом множестве.

Пример 5. Дана функция . Найти ее интервалы возрастания и убывания.

Решение. Найдем ее производную . Очевидно, что >0 при >3 и <0 при <3. Отсюда функция убывает на интервале (;3) и возрастает на (3;).

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство

().

Значение функции в точке называется максимумом (минимумом). Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремум функции.

Для того, чтобы функция имела экстремум в точке необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю () или не существовала.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. В стационарной точке не обязательно должен быть экстремум функции. Для нахождения экстремумов требуется дополнительно исследовать стационарные точки функции, например, путем использования достаточных условий экстремума.

Первое из них заключается в том, что если при переходе через стационарную точку слева направо производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то в точке достигается локальный максимум. Если знак изменяется с минуса на плюс, то это точка минимума функции.

Если же изменение знака производной при переходе через исследуемую точку не происходит, то в данной точке экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума функции в стационарной точке использует вторую производную функции: если <0, то является точкой максимума, а если >0, то - точка минимума. При =0 вопрос о типе экстремума остается открытым.

Функция называется выпуклой (вогнутой) на множестве , если для любых двух значений выполняется неравенство:

.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри множества , то функция вогнута (выпукла) на .

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющие интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, то есть = 0.

Если вторая производная при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то является точка перегиба ее графика.

При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему:

Найти область определения функции.

Исследовать функции на четность – нечетность (если функция четная или нечетная, то график достаточно исследовать только для положительных значений , а для <0 график симметричен относительно оси в случае четности функции и симметричен относительно начала координат – для нечетной функции).