Учебное пособие: Математична обробка результатів вимірів

Цілком зрозуміло, що випадкова величина буде повністю визначена, якщо вказати ймовірність кожної із подій.

Законом розподілу випадкової величини називають всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними ймовірностями.

Закон розподілу дискретної випадкової величини задають:

1) аналітично;

2) чисельно у вигляді таблиці;

3) графічно.

Аналітично закон розподілу для дискретних випадкових величин задають за допомогою формул розподілу ймовірностей при повторних випробуваннях. Ймовірність появи k-ої події при n - випробуваннях розраховують за формулою.

Найбільшпростозаконрозподілудискретноївипадковоївеличини X відображаютьувиглядітаблиці, якуназиваютьрядомрозподілувипадковоївеличини.

Наочно ряд розподілу відображають графічно. Для цього можливі значення випадкової величини Х₁ відкладають по осі абсцис, а по осі ординат - відповідні їм імовірності Р. Отримані вершини ординат з'єднують відрізками прямих ліній. Такий рисунок називають багатокутником розподілу.

Слід пам'ятати, що з'єднання вершин ординат проводиться тільки для більш наочного відображення. При цьому, в відрізках поміж Х₁ і Х₂ , Х₂ і X₃ і далі, випадкова величина х немає значення і ймовірності її на цих відрізках дорівнюють нулю. Другою властивістю багатокутника розподілу є те, що сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини (сума ординат) завжди дорівнює одиниці. Це виходить з того, що всі можливі значення випадкової величини X утворюють повну групу подій, сума ймовірностей яких дорівнює одиниці.

Немає сумніву, що ряд розподілу чи багатокутник розподілу можна подати для дискретної випадкової величини з кінцевим числом можливих значень. Однак ряд розподілу не можна побудувати для неперервної випадкової величини, що має незчисленну безліч можливих значень, які суцільно заповнюють деякий відрізок. Перелічити таку безліч значень випадкової величини практично неможливо. Проте, треба матитаку характеристику розподілу ймовірностей, яка б відображала як дискретні, так і неперервні випадкові величини. Нею є функція розподілу.

Функцією розподілу або інтегральним законом розподілу випадкової величини X називається задання ймовірності події виконання нерівності X < х, де х - деяка поточна змінна, її розглядають як функцію аргументу х і визначають за формулою

F(x) = P(X<x)

Функціюрозподілу F(х) називаютьінтегральноюфункцієюрозподілуабоінтегральнимзакономрозподілу. Вона має досить просту геометричну інтерпретацію. Розглянемо випадкову величину, як випадкову точку X осі ОХ, що в результаті випробування може прийняти те чи інше положення. Тоді функція розподілу F(х) є ймовірністю того, що випадкова точка X в результаті випробування попаде зліва від точки х.

Функція дискретної випадкової величини X, що може приймати значення Х₁ ,Х₂ ,... ,x_n буде мати вигляд

Прицьомудодаванняймовірностейрозповсюджуєтьсянавсіможливізначеннявипадкової-величини, якізасвоєювеличиноюменшіаргументух. Цеозначає, щофункціярозподілудискретноївипадковоївеличини X розривнаізростаєстрибкамиприпереходічерезточкиможливихїїзначеньХ₁ , Х₂ , ... , х_n .

Оскількифункціярозподілудискретноївипадковоївеличинивиглядаєяксходинковаламаналінія, томуїїназиваютьсходинковимграфіком.

Якщо випадкова величина неперервна, то вона має ймовірність в кожній точці осі х. Згідно з формулою функція розподілу буде зростати поступово, тому що можливі значення випадкової величини неперервно заповнюють будь-який інтервал на осі х. Тоді графік виглядатиме як монотонне зростаюча функція розподілу F(х) на інтервалі від а до b.

Функція розподілу має властивості:

1. Функція розподілу F(х) є зростаючою і міститься між нулем та одиницею 0<F(х)<1.

Це випливає з того, що функція F(х) визначається як імовірність випадкової події X < х.

2. Ймовірність виникнення випадкової величини в інтервалі від до дорівнює різниці значень функції на кінцях інтервалу

Визначимо подію А того, що випадкова величина х < та подію В для випадку х < .

Подія С відображає те, що < х < . В цьому випадку подія В буде складатися із суми двох несумісних подій А і С, тобто В = А + С. Згідно з теоремою додавання ймовірностей маємо

P (B) = P(A) + P(C)

Якщо функція в точці неперервна, то граничне значення дорівнює нулю. При розриві функції в точці (X її граничне значення буде дорівнювати значенню стрибка функції F (х).