3. Находим присоединенную матрицу, т.е (матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы).

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле .

5. Проверяем правильность вычисления, исходя из определения обратной матрицы.

Ранг матрицы

Определение: Ранг матрицы – это наивысший порядок, отличных от 0, миноров матрицы.

!!! Чтобы найти ранг матрицы нужно сначала привести матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду (все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0).

Элементарными называются следующие преобразования матриц:

1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами строк (столбцов) матрицы;

4) отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

На практике часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.

xi	x1	x2	…	xn
yi	y1	y2	…	yn

Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными x и y , т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x , исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y = f ( x ) – эмпирическая формула .

Задача нахождения эмпирической формулы разбивается на два этапа:

- устанавливается вид зависимости y = f ( x ), т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой (в нашей задаче зависимость линейная - y = ax + b );

- определение неизвестных параметров этой функции по методу наименьших квадратов, согласно которому, в качестве неизвестных параметров функции f ( x ) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов отклонений «теоретических» значений f ( x_i ), найденных по эмпирической формулеy = f ( x ), от соответствующихопытных значений была минимальной, т.е.

(в нашей задаче ).

В результате решения такой экстремальной задачи с помощью частных производных:

,

получаем систему нормальных уравнений, из которой находим параметры a иb линейной зависимости:

.

НЕОБХОДИМЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

Определение: Функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ) на промежутке Х , если в каждой точке этого промежутка F ¢ ( x )= f ( x ).

Определение: Совокупность всех первообразных для функции f ( x ) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f ( x ) и обозначается , т.е.

.

Формула Ньютона-Лейбница (для вычисления определенных интегралов):