где – определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j -того столбца.

Формулу называют формулой вычисления определителя разложением по первой строке . Число называется алгебраическим дополнением элемента a _{1 j} .

1.2.5 Обращение матрицы

Если А и В- две квадратные матрицы порядка n , такие, что

А × В=Е, (1.14)

то говорят, что В -матрица, обратная к А, и обозначается через

В=А ^-1 ,(1.15)

заметим, что А × А^{- 1} =А^{- 1} × А=Е,

(1.16)

где D =detА (определитель матрицы А ); – алгебраическое дополнение элемента а _{ij .} , а М_ij минор к элементу a_ij (определитель, полученный из А удалением i-й строки и j-ого столбца_.

Обращение обладает свойствами:

(1.17)

А ^-1 существует, если detA ¹0.

Если detA =0, то матрица особенная.

1.3 Матричное представление линейных уравнений

Система линейных уравнений может быть записана в виде матричного уравнения:

А × Х=В . (1.18)

Ее решение получаем, умножая обе части равенства слева на А ^-1 :

А ^-1 ×А × Х =1×Х =А ^-1 ×В ,

то есть:

Х =А ^-1 ×В . (1.19)

Это удобный способ выразить решение Х , но существуют методы решения значительно лучше, чем явное формирование матрицы А ^-1 и умножение ее на В .

1.4 Используемые инструменты MathCAD

Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в Mathcad, можно выполнить тремя способами: с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.

Панель операций с матрицами и векторами в Matrix открывается щелчком по кнопке в панели математических инструментов. За кнопками панели закреплены следующие функции:

– определение размеров матрицы;

– ввод нижнего индекса;

– вычисление обратной матрицы;

– вычисление определителя матрицы: ;