Учебное пособие: Теория автоматического управления Структурная схема

y₁ (w) y₂ (w)

Искомые параметры, соответствующие координатам границы Д - разбиения,

D(w)

Ку(w) = ------------ = 13.34w⁴ - 131.125w² - 2.08; (8.2)

D₁ (w)

D₂ (w) 0.48w² - 5.22

Кос(w) = —----------- = ------------------------------------------- (8.3)

D(w) 6.4w⁴ - 63.9w² - 1

Из приведенных выражений следует:

а) Ку(w) = 0 при w = ± 3.16 рад/с;

Ку(w) > 0 при |w| > 3.16 рад/с;

Ку(w) < 0 при |w| < 3.16 рад/с;

б) Кос(w) = 0 при w = ± 3.298 рад/с;

К о с (w) > 0 при 0 < |w| < 3.16 рад/с, |w| > 3. 298 рад/с;

К о с (w) < 0 при 3.16 < |w| < 3. 298 рад/с;

в) при w = 0 имеет место особая прямая, уравнение которой получим, приравняв нулю свободный член характеристического полинома

1 + 0.4 Ку = 0, откуда Ку= - 2.08

Примечание: Для получения особой прямой при w = ¥ следует приравнять нулю коэффициент при старшей степени характеристического полинома. В рассматриваемом случае указанная особая прямая отсутствует.

г) D(w) > 0 при 0 < w < 3.16, -3.16 < w < 0.

Граница Д - разбиения приведена на рис.8.1 (с целью наглядности в разных квадрантах приняты разные масштабы по осям координат). Учитывая, что в Д-разбиении фигурирует параметр 1/Ку (см.8.1), а графическое построение осуществлено относительно параметра Ку (ось абсцисс), штриховка нанесена на правую часть кривой по направлению обхода от w = 0 до w = ¥ при D(w) > 0 и левую - при D(w) < 0. Особая прямая снабжена одинарной штриховкой, направленной в сторону штриховки основной кривой.

Претендентом на область устойчивость является практически весь первый квадрант плоскости Ку,Кос.

Для определения области устойчивости положим Ку = 20 и Кос = 20. Для устойчивости рассматриваемой САУ третьего порядка по Гурвицу достаточно, чтобы D₂ = (5.7+6.4КуКос)(8.7+0.8КуКос) - 0.8(1+0.48Ку) > 0 что при указанных значениях параметров выполняется. Поэтому претендент является областью устойчивости.

w,рад/с	0	0.1	0.5	1.0	2	3.2	3.25	3.3	3.5	5	¥
Ку	-2.08	-3.4	-34	-120	-313	32	78	150	391	5050	¥
Кос	5.22	3.18	0.3	0.08	0.02	-0.19	-0.00	1.42	0.004	0.003	0

Рис.8.1. Граница Д - разбиения САУ рис.3.1 в плоскости параметров Ку, Кос.

Из рис.8.1 следует, что по условиям устойчивости САУ рис.3.1 значения Ку, Кос могут быть выбраны в очень широких диапазонах (практически от 0 до + ¥). Поэтому целесообразно эти значения определять, исходя из других условий (например обеспечение заданного статизма и качества управления).

9. ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ

Запас устойчивости является мерой количественной оценки степени отстроенности параметров САУ от границы устойчивости, определяемой в соответствии с критерием Найквиста удаленностью (по модулю и фазе) годографа КЧХ (АФХ) разомкнутой системы от критической точки (-1.0; j0).

Запас устойчивости по модулю определяется величиной

DH = 1.0 - | W_p (jw_о )|, (9.1)

где | W_p (jw_о )| - модуль КЧХ (АЧХ) при частоте w_о, соответствующей пересечению годографом W_p (jw) отрицательной полуоси вещественных величин.