Дипломная работа: Дослідження універсальних абелевих алгебр

На підставі леми 2.2 містимо, що

Отже, .

А тому що , те, тобто

4) Позначимо . Нехай

і задовольняє визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення на в такий спосіб

тоді й тільки тоді, коли

Аналогічно, як і вище, неважко показати, що – конгруенція, що задовольняє визначенню 2.1.

Це й означає, що

Теорема доведена.

Як наслідку, з доведеної теореми одержуємо аналогічні властивості централізаторів у групах і мультікільцях.

3. Формаційні властивості нильпотентних алгебр

Як ми вже відзначали, усе алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевскому різноманіттю й використовуються стандартні позначення й визначення з[1].

Нагадаємо, що для й – конгруенції на алгебрі – говорять, що централізує (записується: ), якщо на існує така конгруенція , що:

1) із завжди треба

2) для будь-якого елемента завжди виконується

3) якщо , те

Очевидно, що для будь-якої конгруенції на алгебрі конгруенція централізує . У цьому випадку .

Помітимо, що якщо й – конгруенції на групі й , те для нормальних підгруп і групи й будь-яких елементів , мають місце наступні співвідношення: