Дипломная работа: Математическое моделирование роста доходности страховой компании

J(t)=ò( åaIj(t)+ å(1-a)Rj(t))edt

0 j=1 j=1

при ограничениях

Rj(t)=F(Kj(t), L(t)) "jj=1,n

Ij(t)=mjRj(t), 0<m_j <1,"j,j=1,n

n

(1- m)R(t)= åWaj(t)+L(t)+K’(t)+dK(t)+p(t)K(t)

j=1

Waj(t) = gKj(t)+CmL(t) "j,j=1,n

0<g<1, 0<Cm <1, 0<d<1

0<a<1, p(t)³pc

L(0)=L₀ , L₀ >0, K(0)=K₀ , K₀ >0

Выпишем модель для случая n=2.

Максимизировать

?

ò (a(m₁ R₁ (t) + m₁ R₂ (t)) + (1-a) (R₁ (t)+R(t)) e^{- rt} dt

0

при условии

(1-m₁ -m₂ )R(t)=g( K₁ (t)+ K₂ (t))+ CmL(t)+L(t) + dK(t)+K’(t)+p(t)K(t),

0<d<1, p(t)³pc,0<g+d+p<1

L(0)=L₀ , L₀ >0 K(0)=K₀ ,K₀ >0

K₀ - начальный капитал фирмы, L₀ - начальное количество работников.

Выпишем функцию Лагранжа, учитывая (2.6), (1.1) и тот факт, что F(K_î (t),L(t)) "j,j=1,2 однородна, получим:

W(t)=(am₁ L(t)j( ()+am₂ L(t)j( ()+(1- a)L(t)j( ()e^-rt + l(t)( -(1-m₁ -m₂ )L(t)j(() + (g+d+pc)K(t) + (Cm +1)L(t) + K’(t))

В результате исходная модель записывается в виде (2.1)-(2.3)

Далее, выпишем систему уравнений Эйлера - Лагранжа, вытекающую из (2.1)-(2.3)

( am₁ j ‘() + (1-a)j’()e^-rt +l(t)(g+d+p_c -(1-m₁ -m₂ )j’()-l’(t)=0

( am₂ j ‘() + (1-a)j’()e^-rt +l(t)(g+d+p_c -(1-m₁ -m₂ )j’()-l’(t)=0

(a ( m₁ j() +m₂ j()-(m₁ j’()+m₂ j’ ())) + (1-a)(j()-j’()))e ^-rt +l(t)((1-m₁ -m₂ )j’()-(1-m₁ -m₂ )j() +Cm+1)=0