Дипломная работа: Математическое моделирование роста доходности страховой компании

V(t) =(1-a+am)(j¢(k(t))U(t) + z(k(t))(r + d+g+pc-(1-m)j¢(k(t)))

Проведем качественный анализ уравнения ( 1.15 ).

Так как j¢(k) <0 для k >0, знаменатель в ( 1.15 ) отрицателен.(Мы предполагаем, что (1-a+am)(1+Cm)>0).

Далее из условий на функцию j(k) для z(k)=j¢(k)k-j(k)получаем z(k)£0 и z(k)® 0 при k®0, и z(k) ®-? при к ®?. Для малых k

получаем U>0, V>0, так как j¢(k) - большое число, то k’<0. Для больших kполучаем U<0, V<0, так как z(k) ®-?, следовательно k’ <0. Из монотонного убывания U и V, что каждое из рассматриваемых уравнений U=0 и V=0 имеет единственный корень.

Таким образом область разбивается на три участка: kÎ[0,k₁ ),

kÎ[ k₁ , k₂ ),kÎ[ k₂ ,¥)

Из рисунка 1 видно, что существует одна точка не устойчивого равновесия k₁ (m) и две точки 0 и k₂ (m) устойчивого равновесия. Нетрудно видеть, что k₁ (m) и k₂ (a,m) монотонно возрастающие функции по m. Если начальное значение k₀ =K₀ /L₀ меньше чем k₁ (m), тогда k®0 и фирма гибнет. В противном случае размеры фирмы стабилизируются и стремятся к k₂ (m). Следовательно мы можем рассматривать k₂ (m) как оптимальный размер фирмы для данных значений параметров управления a,m,g,d,Wr,Cm. Таким образом, если заданы величины указанных выше параметров, то по величине k(t)= может быть оценено качество начального состояния и перспективы развития страховой компании.

Предлагается следующий путь:

Если <K(0), то необходимы меры по росту капитала или уменьшению L(t).Если есть возможность увеличить капитал, например за счет кредита, то получаем следующую задачу:

>K(0)

DK(t)®max

Если нет никакой возможности по увеличению капитала, то уменьшают фонд оплаты труда. В этом случае задача выглядит следующим образом:

>K(0)

L(t)*<L(t)<L(t)**

DL(t)®min

Приведем пример расчетов оптимального размера фирмы.

Рассмотрим влияние изменений параметра управления a на оптимальный размер страховой компании. Данные для расчета были предоставлены компанией Росгосстрах. Предполагается, что d=0.13, g=0.03, m= 0.1, C_m =0.8. Тогда зависимость k₁ , k₂ представлены в таблице 1.

k/a	0	¼	1/2	¾	1
k1	7.2	7.2	7.2	7.2	7.2
k2	3.49	3.39	3.15	3.13	2.93

Таб.1

Можно исследовать значения k₁ и k₂ для других значений параметров, полагая m= 0.05, получаем таблицу 2.

a	0	1/4	1/2	3/4	1
k1	6.8	6.8	6.8	6.8	6.8
k2	3.4	3.23	3.15	3.13	3

Таб.2

Окончательно заметим, что изменение ставки комиссионного вознаграждения m при фиксированном капитале К ведет к уменьшению капиталовооруженности k.

§2 Математический анализ многомерной модели роста доходности страховых компаний

Рассматриваемая модель имеет вид:

Максимизировать

mR(t) + (1-a)R(t)) e^{- rt} dt

при условии

(1-m)R(t)=+(Cm+1)L(t) + dK(t)+K’(t)+ p(t)K,

0<d<1, p(t)³pc,0<g+d+p<1,0<a<1, 0<m<1