Контрольная работа: Математический анализ
S2 = 1.45914·10-6
S3 = 1.58075·10-5
Задача 2
Для функции g(x), заданной своими значениями в шести точках, составить таблицу всех повторных разностей. Преобразовать функцию g(x) с помощью линейного преобразования x = a + b * k в функцию G(k) с целочисленным аргументом k. В качестве проверки правильности заполнения таблицы вычислить аналитически конечную разность Δn g(x) = Δn G(k) для n = 5.
Решение
Составим таблицу всех повторных разно стей:
| k | x | y | Δy | Δ2 y | Δ3 y | Δ4 y | Δ5 y |
| 0 | 0.3 | 0.02 | -1.576 | 0.044 | -0.136 | 0.66 | -0.54 |
| 1 | 1.1 | -1.556 | -1.532 | -0.092 | 0.524 | 0.12 | — |
| 2 | 1.9 | -3.088 | -1.624 | 0.432 | 0.644 | — | — |
| 3 | 2.7 | -4.712 | -1.192 | 1.076 | — | — | — |
| 4 | 3.5 | -5.904 | -0.116 | — | — | — | — |
| 5 | 4.3 | -6.02 | — | — | — | — | — |
 |
Найдем формулу перехода от x к k:
 |
???????? ????????, ???????? ???????????? ???????? ????????
Δn g(x)= Δn G(k) дляn = 5 :
Конечные разности, вычисленные аналитически и таблично Δn g ( x ) = Δn G ( k ) для n = 5 совпали, следовательно, таблица повторных разностей составлена верно.
З адача 3
Таблично заданную функцию G(k) с целочисленным аргументом представить в виде разложения по факториальным многочленам ( z ( n ) = z · ( z -1) · ( z -2) · … · ( z - n + 1)) и преобразовать его в степенные многочлены G ( z ) и G ( x ) .
Решение
Представим функцию G ( k ) в виде разложения по факториальным многочленам:
 |
Преобразуем функцию G ( k ) в степенной многочлен G ( z ) :
Выполним проверку при k = 1:
 |
0.604=0.604
Так как результаты совпали, значит степенной многочлен G ( z ) представлен правильно.
Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(x). Зная, что получим:
 |
 |
Проверим вычисления при x = 0.8:
 |
0.6045128 ≈ 0.604
Так как результаты совпали, то вычисления сделаны верно.
Задача 4
Вывести аналитическое выражение суммы для функции целочисленного аргумента G ( z ) . Проверить правильность вычисления полученного выражения прямым суммированием табличных значений G ( k ) , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (m = 5).
Решение.
Для вычисления значения суммы используем функцию G ( z ) в виде разложения по факториальным многочленам, полученным в задаче 3:
 |
 |
???
Для проверки, просуммируем значения G ( k ) из таблицы:
-0.02 + 0.604 + 0.292 - 0.512 - 1.284 - 2.04 = - 2.96
- 2.96 = - 2.96