Контрольная работа: Математический анализ
Задача 5
Составить таблицу упорядоченных разделенных разностей для g ( x ) . Проверить правильность таблицы для разделенной разности [x0 ; x1 ; x2 ; x3 ] по формуле ее аналитического представления.
Решение
Составим таблицу упорядоченных разделенных разностей для g ( x ) :
| xi | g(xi ) | [xi ; xi +1 ] | [xi ; xi +1 ; xi +2 ] | [xi ; xi +1 ; xi +2 ; xi +3 ] | [xi ; xi +1 ; xi +2 ; xi +3 ; xi +4 ] | [xi ; xi +1 ; xi +2 ; xi +3 ; xi +4 ;xi +5 ] |
| 0.3 | -0.02 | 1.248 | -1.872 | 0.592 | 0.0533333 | -0.1567999 |
| 0.8 | 0.604 | -0.624 | -0.984 | 0.6986666 | -0.3386666 | — |
| 1.3 | 0.292 | -1.608 | 0.064 | -0.0213333 | — | — |
| 1.8 | -0.512 | -1.544 | 0.032 | — | — | — |
| 2.3 | -1.284 | -1.512 | — | — | — | — |
| 2.8 | -2.04 | — | — | — | — | — |
Для проверки правильности заполнения таблицы разделенных разностей, вычислим разделенную разность пятого порядка по формуле ее аналитического представления:
Так как результаты вычислений совпали, значит, таблица разделенных разностей составлена правильно.
Задача 6
Получить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, проходящие через первые четыре точки таблично заданной функции G(x), и сравнить их степенные представления.
Решение
Для нахождения интерполяционного многочлена Лагранжа используем формулу
где n = 3.
Проведем проверку вычислений, подставив x =0.8 в интерполяционный многочлен Лагранжа, получим y1 =0.604
Интерполяционный многочлен Ньютона находится по формуле:
ln (x) = g0 + (x-x0 )[x0 ;x1 ] + (x-x0 )(x-x1 )[x0 ;x1 ;x2 ] + … +
+(x-x0 )(x-x1 )∙ …∙(x-xn-1 )[x0 ;x1 ;x2 ;…;xn ]
 |
????????? ? ??????? gi ? xi ???????:
Интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа совпадают.
Проведем проверку вычислений, подставив x =0.8 в интерполяционный многочлен Ньютона, получим y1 =0.604
 |
Задача 7.
Вывести выражения для вычисления второй производной в точке x=x3 в виде функций:
 |
где ∆n g(0) и g(xn ) для n = 0,1,…,5 соответственно значения разностей в точке x = x0 и ординаты g(xn ) = gn из задачи N2. Значения производной вычисленные по выведенным формулам, сравнить с вычисленным значением производной, найденной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x) :
Решение
Для вычисления производной воспользуемся оператором
 |
?????????????????:
 |
Выражение для вычисления производной в точке x0 имеет вид:
Для того, чтобы преобразовать его к выражению для вычисления производной в точке x3 , применим оператор сдвига:
 |
 |
??? ????, ????? ??????? ?? ??????? ? ??????? ????????????? ????????:
 |
??????? ????????? ??? ∆2 y0 :
∆5 y0 = -y0 + 5y1 – 10y2 + 10y3 – 5y4 + y5