Контрольная работа: Математический анализ
∆3 y0 = -y0 + 3y1 – 3y2 + y3
∆2 y0 = y0 - 2y1 + y2
 |
Подставим эти значения в функцию:
Сравним это значение с вычисленным значением производной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x) :
при x3 = 1.8
 |
Значения производной равны, следовательно, вычисления сделаны верно.
Задача 8
Методом наименьших квадратов для таблично заданной g ( x ) получить аппроксимирующие степенные полиномы нулевой, первой, второй и третьей степеней ( Pi ( x ), i = 0, 1, 2, 3) и изобразить их на одном графике.
Решение.
Составим таблицу степеней x и xy
| i | x | y | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | xy | x2 y | x3 y |
| 1 | 0.3 | -0.02 | 0.09 | 0.027 | 0.0081 | 0.00243 | 0.000728999 | -0.006 | -0.0018 | -0.00054 |
| 1 | 0.8 | 0.604 | 0.64 | 0.512 | 0.4096 | 0.32768 | 0.262144 | 0.4832 | 0.38656 | 0.309247 |
| 1 | 1.3 | 0.292 | 1.69 | 2.197 | 2.8561 | 3.71293 | 4.8268 | 0.3796 | 0.493479 | 0.641523 |
| 1 | 1.8 | -0.512 | 3.24 | 5.832 | 10.4976 | 18.8956 | 34.0122 | -0.9216 | -1.65888 | -2.98598 |
| 1 | 2.3 | -1.284 | 5.29 | 12.167 | 27.9840 | 64.3634 | 148.035 | -2.9532 | -6.79236 | -15.6224 |
| 1 | 2.8 | -2.04 | 7.84 | 21.952 | 61.4656 | 172.103 | 481.89 | -5.712 | -15.9936 | -44.782 |
| 6 | 9.3 | -2.96 | 18.79 | 42.687 | 103.22 | 259.405 | 669.026 | -8.73 | -23.5666 | -62.4401 |
 |
Составим системы уравнений:
Откуда a0 = -0.93621; a1 = 3.89576; a2 = -2.8954; a3 = 0.488001
 |
???????????????? ????????? ??????? 3-? ??????? ????? ???:
P3 (x) = -0.93621 + 3.89576x – 2.8954x2 + 0.488001x3
Откуда a0 = -0.0710314; a1 = 0.989486; a2 = -0.624589;
Аппроксимирующий степенной полином 2-й степени имеет вид:
 |
P2 (x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2
Откуда a0 = 0.974118; a1 = -0.946742;
Аппроксимирующий степенной полином 1-й степени имеет вид:
P1 (x) = 0.974118 – 0.946742x
6a0 = -2.96
Откудаa0 = -0.493333;
Аппроксимирующий степенной полином 0-й степени имеет вид:
P0 (x) = -0.0493333
 |
????????? ?????????? ???????? ?? ???????:
Задача 9
Для аппроксимирующего полинома третьей степени P 3 ( x ) получить аналитические выражения Δ n P 3 ( x ), n = 0, 1, 2, 3, 4 и все конечно-разностные разностные кривые изобразить на одном графике.
 |
Решение
Обозначим на графике все конечно-разностные кривые:
| ||
| ||
| ||
 |
|
|
Задача 10
Вывести квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов с пределами [0, 1] и [-1, 1] от подынтегральных функций f(t), принадлежащих классу степенных многочленов степеней 0, 1, 2, 3. Вывод проделать для трех случаев использование в квадратурных формулах численных значений подынтегральных функций: