Контрольная работа: Математический анализ

Подставим значение T₀ = 1 и T₁ = x

T₄ = 8x⁴ - 4x² - 4x² + 1 = 8x⁴ - 8x² + 1

Найдем значения x:

T₄ = 0.99980

Проверим по заданной рекуррентной формуле:

T₂ = 2·0.00490·0.00490 - 1 = -0.9999

T₃ = 2·0.00490·(-0.9999) - 0.00490 = -0.01469

T₄ = 2·0.00490·(-0.01469) + 0.9999 = 0.99980

Нули функции находятся, как решения биквадратного уравнения:

8x⁴ - 8x² + 1 = 0, где

x₁ = 0.9238795

x₂ = -0.9238795

x₃ = 0.3826834

x₄ = -0.3826834

Чтобы найти экстремумы найдем

Задача 16

Выравнивание по всей длине с течением времени температуры T(x, t) на тонком однородном хорошо теплоизолированном стержне описывается дифференциальным уравнением в частных производных с начальным распределением температуры (в градусах Цельсия) по длине стержня в 6 равномерно расположенных с шагом h точках.

T(x₀ , 0) = T₀ , T(x₁ , 0) = T₁ , …, T(x₅ , 0) = T₅ ; (T_i = 100·y_i ˚C).

На концах стержня в точках x_-1 и x₆ удерживается нулевая температура.

Применяя конечно-разностное представление производных по пространственной переменной x, свести уравнение в частных производных к системе дифференциальных уравнений в обыкновенных производных относительно температуры T.

Решение.

Получаем систему диф. уравнений:

Учитывая начальные условия, получим систему уравнений:

Задача 17.

Используя метод Ньютона-Рафсона, найти с относительной погрешностью в одну миллионную нуль многочлена Чебышева T_i (x), полученного в задаче 14. В качестве начального приближения к корню взять