Математика / Контрольная работа: Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

Контрольная работа: Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

Рассмотрим два уравнения А и В с одним и тем же неизвестным. Мы будем говорить, что уравнение В является следствием уравнения А, если любой корень уравнения А является корнем уравнения В.

Уравнения называются равносильными, если любой корень одного из них является корнем другого и наоборот. Таким образом, уравнения равносильны, если каждое из них является следствием другого.

Из данных определений следует, например, что два уравнения, не имеющие решений, равносильны. Если А не имеет решений, то В является следствием А, каково бы ни было уравнение В.

Определим понятие «решить уравнение». Решить уравнение – значит найти все такие значения входящих в него неизвестных, которые обращают уравнение в тождество. Эти значения называются корнями уравнения.

Процесс решения уравнений заключается в основном в замене данного уравнения другим, ему равносильным.

Как было ранее сказано, выделяют четыре наиболее общих метода, используемых при решении уравнений любых видов. Остановимся подробнее на каждом методе.

Метод замены уравнения h (f(x))=h (g(x)) уравнением f(x)=g(x) можно применять только в том случае, когда - монотонная функция, которая каждое своё значение принимает по одному разу. Если данная функция немонотонная, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корней.

Суть метода разложения на множители заключается в следующем: уравнение можно заменить:

Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.Идея графического метода решения уравнения такова: нужно построить графики функций , и найти точки их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Этот метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближённые, а иногда и точные значения корней. В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить ссылкой на какие-либо свойства функций (потому-то мы говорим не о графическом, а о функционально-графическом методе решения уравнений). Если, например, одна из функций возрастает, а другая – убывает, то уравнение либо не имеет корней, либо имеет один корень.Упомянем ещё одну довольно красивую разновидность функционально-графического метода: если на промежутке наибольшее значение одной из функций , равно и наименьшее значение другой функции тоже равно , то уравнение равносильно на промежутке системе уравнений.

Раскроем суть метода замены переменной: если уравнение удалось преобразовать к виду то нужно ввести новую переменную , решить уравнение , а затем решить совокупность уравнений

где корни уравнения .

Умение удачно ввести новую переменную приходит с опытом. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но «ощущается», а иногда «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы.

2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях. Сначала остановимся на случаях, где замена очевидна.

Пример 1. Решить иррациональное уравнение