Контрольная работа: Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

Введя замену: и приведём последнее уравнение к виду . Это однородное уравнение второй степени относительно и . В нём . В самом деле, если , то уравнение приводится к виду , или Но система решений не имеет.

Разделив обе части уравнения на , запишем. Что

Отсюда

Ответ:

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Поскольку функция существует при любых значениях , найдём область определения функции

значит, . Ясно, что можно ввести замену или Пусть . Нас интересуют все значения этой функции. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция синус принимает все свои значения, например отрезок

Подставив замену в уравнение, получим:

Вернёмся к «старой» переменной:

Ответ:

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Выделим наиболее часто повторяющееся выражение и упростим левую часть исходного уравнения:

(1)

Введём замену тогда уравнение (3) примет вид:

, или ,

При дальнейших упрощениях получим

Применим основное свойство дроби к левой части уравнения, разделив на :