Курсовая работа: Вариации при исчислении

где W(x, y) – прогиб пластинки; ;

E, – механические характеристики материала пластинки; h– толщина пластинки.

Функция W(x, y) является непрерывной функцией, имеющую непрерывную производную до четвертого порядка включительно и все требования 1,2,3 будут выполнены.

При шарнирно-неподвижном закреплении краев пластинки должны выполняться условия

При x=0, x=a

(1.61)

При y=0, y=b

(1.62)

Получим уравнение Эйлера(Остроградского) для функционала (1.60) при краевых условиях (1.61), (1.62). Так как

то уравнение Остроградского принимает вид

(1.63)

При этом

Поставив эти выражения в (1.63), получим уравнение Остроградского для функционала (1.60)

.(1.64)

Уравнение (1.64) является уравнением равновесия рассматриваемой пластины и должно решаться при граничных условиях (1.61), (1.62).

1.13 Функционалы, зависящие от нескольких функций

Рассмотрим функционал

(1.65)

Зададим его на парах функций из (непрерывных вместе со своей первой производной), удовлетворяющих краевым условиям

(1.66)

где – постоянные. Множество таких пар обозначим через D(J). Каждую такую пару будем называть вектором. За и возьмем функции из , удовлетворяющие условиям

Множество векторов , очевидно линейное, и D(J) есть линейное многообразие. Таким образом функционал (1.65) удовлетворяет требованиям 1,2,3.

Строим две функции, близкие к u(x) и v(x):

и .

Подставив их в функционал (1.65), получим функцию от и . Найдем частные производные от по и при :