Курсовая работа: Вариации при исчислении

Первая вариация функционала (1.65) выражается формулой

где .

Откуда получаем уравнения Эйлера для функционала (1.65) в виде системы двух дифференциальных уравнений

; (1.67)

Эти уравнения должны решаться при краевых условиях (1.66).

2. Вариационные задачи с подвижными границами

2.1 Простейшая задача с подвижными границами

В гл. 1 при исследовании функционала

предополагается, что граничные точки заданы.

Предположим теперь, что одна или обе граничные точки могут перемещаться, тогда класс допустимых кривых расширяется. Поэтому, если на какой-нибудь кривой достигается экстремум в задаче с подвижными граничными точками, то экстремум тем более достигается по отношению к более узкому классу кривых, имеющих общие граничные точки с кривой , и, следовательно, должно быть выполнено основное, необходимое для достижения экстремума в задаче с неподвижными границами условие – функция должна быть решением уравнения Эйлера:

.

Итак, кривые , на которых реализуется экстремум в задаче с подвижными границами, должны быть экстремалями.

Общее решение уравнения Эйлера содержит две произвольные постоянные, для определения которых необходимо иметь два условия. В задаче с неподвижными граничными точками такими условиями были

, .

В задаче с подвижными границами одно или оба эти условия отсутствуют и недостающие условия для определения произвольных постоянных общего решения уравнения Эйлера должны быть получены из основного не?