Реферат: Анализ обобщенных функций

Если для функции L(p) существует оригинал, принадлежащий то он и является искомым решением.

В качестве примера рассмотрим уравнение

Применив к нему преобразование Лапласа, получим (р² -w² ) L[y(t)] = 1.

Следовательно,

Откуда находим решение

7.Задача Коши

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

(7)

Задачей Коши для этого уравнения называется задача, заключающаяся в определении функции удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям в точке t= t_o :

y_o = y(t_o ), y'_o = y'(t_o ), . . . , y_o ^(n-1) = y^(n-1) (t_o ).

Задача Коши имеет единственное решение. Найдем решение, удовлетворяющее уравнению (7), а также начальным условиям.

(8)

t®+0

Запишем уравнение (8) в обобщенных функциях, продолжив функцию f(t) и искомое решение нулевым значением для t<0. Введем функции

и соответствующие обобщенные функции. Начальные условия в этом случае являются скачками функции y(t) и ее производных до n-1-го порядка включительно в точке t= 0. Действительно, рассмотрим вначале случай, когда у функции y(t) только скачок y_o , тогда

где y'(t) – производная в обычном смысле.

Если у функции еще и скачок производной равный y'_o , то

Производную порядка p(p£n-1) обобщенной функции можно записать в виде

Введем обозначение

Где

Таким образом, дифференциальное уравнение (7) переходит в уравнение