Реферат: Анализ обобщенных функций

Преимущество этого уравнения состоит в том, что оно содержит начальные условия Коши и в формулировке задачи участвуют обобщенные функции.

Уравнение в свертках, соответствующее уравнению (9), имеет вид

Если e(t) – его фундаментальное решение, то с учетом последней формулы можно записать

(10)

С помощью вариации постоянных можно записать фундаментальное решение в виде

e(t) = q(t) y_n (t) ,

где y_n (t) - решение однородного уравнения

с начальными условиями

Тогда решение уравнения (10) принимает вид

Таким образом, решение уравнения (7) с начальным условием (8) принимает вид

где предполагается, что f(t) – локально интегрируемая функция.

Пример. Рассмотрим уравнение

y''(t) = 0, t³0

с начальными условиями

limy(t) = y_o , limy'(t) = y'_o

t®+0 t®+0

В этом уравнении а₁ = а₂ = 0 и b₁ = y_o , b₂ = y'_o , а функция y₂ (t) = tявляется решением однородного уравнения, удовлетворяющая условиям

y₂ (0) = 0 , y'(0) = 1.

Поэтому

y(t) = y_o + y'_o t, t³0.

Можно также написать