(f_n , j) ®(f, j)

n®¥

Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства. Производная f'(t) регулярной обобщенной функции f(t) равна

так как основная функция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала. Производная n– го порядка будет тогда определяться равенством

(f^{( n )} (t), j(t) = (-1)ⁿ (f(t), j^{( n )} (t)) ("nÎN, jÎK).

Это соотношение определяет производную n– го порядка обобщенных функций, включая и сингулярные функции.

Примеры:

1. Производная функции Хевисайда равна

2. Так как

то

Из определения дельта – функции следует

td(t) = 0,

а значит

d(t) + td'(t) = 0,

2d'(t) + t d''(t) = 0,

---------------------

nd^(n-1) (t) + t d⁽ⁿ⁾ (t) = 0.

Отсюда последовательным исключением получаем

tⁿ d^{( n )} (t) = (-1) n! d(t) nÎN.

Методом математической индукции можно показать, что

Легко также показать, что если a(t) ÎC^m , то

a(t)d^(m) (t – t_o ) = C^o _m a (t_o ) d^(m) (t – t_o ) - C¹ _m a' (t_o ) d^(m-1) (t – t_o ) –

- . . . – (-1)C^m _m a^(m) (t_o ) d(t – t_o ) .

Введем обобщенные функции t₊ и t_- :

тогда