Реферат: Анализ обобщенных функций

Введение

Существуют многие физические модели, которые в терминах обычных функций не могут быть описаны. Например, распределение зарядов вдоль прямой удобно задать плотностью этого распределения. Однако, если на прямой существуют точки, несущие заряды, то плотность такого распределения не может быть описана "обычной" функцией. Другой пример связан с определением производной в точках разрыва функции, когда эта операция носит в выкладках промежуточный характер.

Определение. Основное пространство K^m состоит из действительных функций j(t), называемыми основными функциями, имеющими непрерывные производные до порядка mвключительно, равными нулю вместе со всеми производными вне конечного интервала. Пространство K^m является линейным.

Пример. Рассмотрим функцию

график которой приведен ниже

j

1

a(a+b)/2 bt

Эта функция принадлежит основному пространству K^o , так как не существуют производные в точках t= aи t= b. Функция (график смотри ниже)

принадлежит пространству K^m .

j

1

a(a+b)/2 bt

Если положить m= ¥для основного пространства K^m , то полученное основное пространство обозначается К. Пусть

тогда, как легко проверить, j(t) ÎK.

1.Обобщенные функции

Определение. Обобщенной функцией f(t) (заданной на прямой (-¥ < t<¥)) называется всякий непрерывный линейный функционал на пространстве основных функций. Он может быть представлен в виде скалярного произведения

(f(t), j(t)) , j(t) ÎK(K^m ).

Всякая интегрируемая функция f(t) порождает обобщенную функцию, так как скалярное произведение

есть непрерывный линейный функционал на K. Такие обобщенные функции называются регулярными, остальные (которые не допускают такого представления) – сингулярными. Приведем пример сингулярной обобщенной функции. С этой целью рассмотрим последовательность функций

Так как интеграл Пуассона

то (1)

При n®¥функция d_n (t) вытягивается до бесконечной высоты в точке t= 0, а вне ее становится равной нулю, сохраняя свойство (1). В обычном понимании предел d_n (t) при n®¥не существует. Предел

limd_n (t) = d(t)

n®¥

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--