(2)

где j (t) – основная функция. Скалярное произведение (2.) есть линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций (jÎK). Функция d(t) называется дельта – функцией (обобщенная функция Дирака).

Определим произведение обобщенной функции fна число lсоотношением

(lf, j) = l (f, j) ( jÎK).

Сумма двух обобщенных функций f₁ , f₂ определим следующим образом

(f₁ + f₂ , j) = (f₁ , j) + (f₂ , j) ( jÎK).

После этого множество обобщенных функций K' становится линейным пространством.

Определение. Две обобщенные функции f(t), g(t) ÎK' равны: f(t) = g(t), если для любой основной функции j (t)

(f, j) = (g, j) или (f– g, j) = 0.

Обобщенная функция f(t) равна нулю: f= 0, если для любой основной функции j (t)

(f, j) = 0.

Примеры обобщенных функций.

1. Пусть jÎK. Определим обобщенную функцию fс помощью функционала

Приведенная сумма конечна, так как основная функция j(t) равна нулю вне некоторого конечного интервала.

2. Введенную ранее дельта-функцию d(t) определим следующим образом

(d(t), j(t)) = j(0).

Исходя из интегрального представления (2), имеем

Если а(t) – непрерывная функция, то

(а(t) d(t), j(t)) = (d(t), а(t) j(t)) = a(o) j(o) ( jÎK^o ).

Отметим, что функционал f, определенный на Kсоотношением

не является обобщенной функцией, так как, являясь непрерывным функционалом, он не линеен.

3. Обобщенная функция Хевисайда

для которой можно записать

является регулярной обобщенной функцией.

2.Действия над обобщенными функциями