Реферат: Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)

Допустим, что u, v – функции переменной х, непрерывные и имеющие производные в интервале (а,в ). имеем тогда

(uv )’ = uv’ + vu’

так что uv’ = (uv )’ – vu’

ò

ò

???? ?????????????? ????????? ?? ????? ?????? ? ????????, ??? uv’dх = uv ? vu’dх, (1)

Если оба интеграла существуют.

ò

ò

????????? ??????????????? ?????????? ??????? ????? ???????? ? ????????? ????:

udv = uv – vdu . (2)

ò

??????? (2) ???? ??????????? ?????????? ????????? udv ?????? ? ?????????? ????????? vdu , ???????, ???? ?????, ??????? ?????. ???? ????? ?????????? ??????????????? ?? ??????.

ò

Примеры.

1) J = хе^х dх.

ò

??????? и = х, dи = dх, dv = е^х dх,

v = е^х dх = е^х

Следовательно,

J = хе^х – е^х dх = хе^х – е^х + С.

ò

2) ln хdх .

Положим, u = ln х, dи = dх /х

ò

dv = dх v = dх = х.

ò

?????????????,

J = х ln х – dх = х ln х – х + С..

2.7. Определённый интеграл как предел интегральной суммы.

Пусть интервал [а,в ], на котором задана функция у = f (х ), разбит точками деления х ₁ < х ₂ < … < х_{п – 1} на п частичных интервалов D₁ = [х ₀ ,х ₁ ], D₂ = [х ₁ ,х ₂ ], …, D_n = [х_п–1 ,х_п ], где а =х ₀ , в = х_п , причём в каждом частичном интервале D_i выбрана какая–либо точка a_i :

х_i–1 £ a_i £ х_i (i = 1, 2, …, п ). Пусть, далее, Dх_i – длина интервала D_i , то есть,

х_i – х_i–1 = Dх_i (i = 1, 2, …, п ),

а max Dх_i – наибольшее из чисел Dх_i .

п i=1

????????? ????? ?????? ?????

(1) f (a ₁ ) Dх ₁ + f (a ₂ ) Dх ₂ + … + f (a _п ) Dх_п = å f (a _i ) Dх_i ,