Реферат: Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)

lim

^{Dх ®0}

Определение. ???? ??????? у = f’ (х ) ???????????????, ?? ????, ???? Dу = f’ (х )Dх + a ^. Dх , a = 0,

то главную линейную часть f’ (х )Dх , её приращения будем обозначать d_х у, d_х f (х ) и называть дифференциалом переменной у по переменной х в точке х .

Написав для симметрии d_х х вместо Dх, получим следующую формулу:

d х у dх х

d_х у = f’ (х )d_х х,

откуда = f’ (х ).

Заметим ещё, что дифференциалы d_х у и d_х х являются функциями переменной х, причём функция d_х х принимает постоянное значение Dх.

1.3 Инвариантность формы первого дифференциала.

В случае, когда переменная у = f (х ) была функцией независимой переменной х, мы имеем, по определению,

Dу = f’ (х )Dх или d_х х = f’ (х )d_х х (1)

Рассмотрим теперь случай, когда х является в свою очередь функцией другой переменной,

х = х(t).

Теорема. Если функции х = j(t ) и у = y(t ) дифференцируемы в соответствующих точках t = t ­₁ и х = х ₁ = j(t ₁ ), то дифференциал сложной функции у = f (j(t )) = y(t ) может быть представлен в виде

d_t у = f’ (х ₁ ) d_t х.

Доказательство: Согласно определению дифференциала имеем

d_t х = j’(t ₁ ) d_t t (1¹ )

d_t у = y’(t ₁ ) d_t t (2)

Но на основании теоремы о производной сложной функции мы видим, что

y’(t ₁ ) = f’ (х ₁ ) j’(t ₁ )

Подставив это выражение в формулу (2), получим:

d_t у = f’ (х ₁ ) j’(t ₁ ) d_t t ,

отсюда в силу формулы (1¹ )

d_t у = f’ (х ₁ ) d_t х (3)

Сравнив формулу (1) с формулой (3), мы заметим что их можно записать символически в виде

dу = f’ (х ) dх (4)

Формулу (1) или (3) мы получаем из формулы (4), написав вместо d, соответственно d_х или d_t .

Символы dх и dу не являются совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов d_х х и d_х у или, соответственно, d_t х и d_t у.

Значение формулы (4) становится ясным, если обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумя формулами для определения производной у по х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х , то