D у – dу

Dх

lim Dх ®0

???????????? dу, ?????? ??????, ?????????? ?? Dу, ?? ?? ???????? ????? ???? ?? ????????? dх ??? ????? ????? dх, ??? ???

= a (Dх ) = 0

На практике, когда речь идёт только о приближённых значениях, можно для малых приращений dх считать

Dу = dу = f’ (х )dх.

2. Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной.

2.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’ (х ) или дифференциала f’ (х )dх данной функции f (х ).

В интегральном исчислении решается обратная задача:

Дана функция f (х ); требуется найти такую функцию F(х ), производная которой f (х )dх в области определения функции f (х ), то есть, в этой области функции f (х ) и F(х ) связаны соотношением F’(х ) = f (х ) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх.

Определение. Функция F(х ) называется первообразной функцией для данной функции f (х ), если для любого х из области определения f (х ) выполняется равенство F’(х ) = f (х ) или dF(х) = f(х)dх.

Примеры. 1) Пусть f (х ) = cos х.

Решение: Тогда F(х ) = sin х, так как F’(х ) = cos х = f (х ) или dF(х) = cos х dх = f (х )dх

х 3 3

2) ????? f (х ) = х ² .

Решение: Тогда F(х ) = , так как F’(х ) = х² = f (х ) или dF(х) = х ² dх = f (х )dх.

Известно, что если две функции f (х ) и j(х ) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, то есть, если f (х ) = j(х ) + С, то f’ (х ) = j’(х ) или f’ (х )dх = j’(х )dх.

Известно также, что и наоборот, если две функции f (х ) и j(х ) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, если

f’ (х ) = j’(х ) или dхf (х ) = d j(х ), то

f (х ) = j(х ) + С.

Замечание. Действительно, если производная f’ (х ) обращается в нуль для любых значений х в (а,в ), то в этом интервале f (х ) = С.

В самом деле, если х ₁ Î (а,в ) и х ₂ Î (а,в ), то в силу теоремы Лагранжа, имеем f (х ₂ ) – f (х ₁ ) = (х ₂ –х ₁ ) f’ (х ₀ ), где х ₁ < х ₀ < х ₂ . Но, так как f’ (х ₀ ) = 0, то f (х ₂ ) – f (х ₁ ) = 0.

Отсюда непосредственно следует что, если в формуле у = F(х ) + С мы будем придавать постоянной С все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f (х ).

ò

Определение . ????????? F(х ) +? ???? ????????????? ??????? ??? ??????? f (х ), ??? ? ????????? ??? ????????? ???????? ????????, ?????????? ?????????????? ?????????? ?? ??????? f (х ) ? ???????????? ????????

f (х )dх

ò

????? ???????, ?? ???????????,

f (х )dх = F(х ) + С, (А)

ò

??? F?(х ) = f (х ) ??? dF(х) = f(х)dх ? ? ? ???????????? ??????????. ? ??????? (?) f (х ) ?????????? ??????????????? ????????, f (х )dх ? ??????????????? ??????????, ? ?????? ? ?????? ??????????????? ?????????.