Реферат: Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)

Определение . Нахождение первообразной по данной функции f (х ) называется интегрированием

2.2. Геометрический смысл неопределённого интеграла.

Пусть задан неопределённый интеграл F(х ) + С для функции f (х ) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С₁ получим конкретную функцию у₁ = F(х ) + С₁ , для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С₂ , получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.

Аналогично можно построить график любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х ) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х ) + С. Величина С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С₂ , можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С₁ , параллельным сдвигом в направлении оси Оу на величину /С₂ – С₁ /. На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х ² + С от функции f (х ) = 2х, то есть, семейства парабол.

2.3. Основные свойства неопределённого интеграла.

1) Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть,

ò

[ f (х )dх ]? = f (х ) .

ò

??????????????. ???????? ??????????? ??????????????? ?????????,

f (х )dх = F(х ) + С, (V)

где F’(х ) = f (х )

ò

????????????? ???????? ????? ????????? (V), ?????

[ f (х )dх ]’ = [F(х ) + С ]’,

ò

??????

[ f (х )dх ]’ = F’(х) + С ¹ = F’(х ) = f (х ) .

2)

ò

???????????? ??????????????? ????????? ????? ???????????????? ?????????, ?? ????

d f(х)dх = f(х)dх

ò

??????????????. ???????? ??????????? ??????????????? ?????????,

ò

f (х )dх = F(х ) + ?

d f(х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) = dС = F’(х)dх = f(х)dх

3)

ò

?????????????? ???????? ?? ????????????? ????????? ??????? F(х ) ????? ????? ??????? ? ????????? ?? ???????????? ?????????? ?, ?? ????

dF(х) = F(х ) + С, (v)

ò

??????????????. ?????????????????? ??? ????????? (v), ????? ?????

d dF(х) = dF (х ) (по свойству 2)

ò

d (F (х ) + ?) = dF(х)

ò

?????????????, ??????? dF(х) ? dF (х ) ?????????? ???? ?? ????? ?? ?????????? ????????, ?? ????

dF(х) = F(х ) + С

4) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, то есть