f(x,y)=(∂² F(x,y))/∂x∂y=F″_xy (x,y).

Свойства дифференциальной функции:

l.f(x,y)>0;

Геометрически свойство 2 означает, что объем тела, ограниченного поверхностью f (x, у) и плоскостью XOY, равен 1.

Если случайные величины X и Y независимы, то

f(x,y) = f₁ (x) f₂ (y), где f₁ (x)=F’₁ (x),f₂ (y)=F’₂ (y).

В противном случае

f ( x , у ) = f₁ ( x ) f ( y / x )

или f ( x, y) = f₂ ( y ) f (x / y ),

где f(y/x)=f(x,y)/f₁ (x) - условная дифференциальная функция CB Y при заданном значении

X = x, f(y/x)=f(x,y)/f₂ (x) - условная дифференциальная функция СВ X при заданном значении Y= у;

- дифференциальные функции отдельных случайных величин X и Y, входящих в систему.

22. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Начальным моментом порядка s,h системы двух случайных величин X, Y называется математическое ожидание произведения степени s случайной величины X и степени h случайной величины Y:

α_{s , h} =M(X^s Y^h )

Центральным, моментом порядка s, h системы СВ (X, Y) называется математическое ожидание произведения степеней s, h соответствующих центрированных случайных величин:

μ_{s , h} =M(X^S Y^h ), где X =X-М(X),

Y=Y-М(Y)

-центрированные случайные величины X и Y.

Основным моментом порядка s, h системы СВ (X,Y) называется нормированный центральный момент порядка s, h:

Начальные моменты α_1.0 , α_0,1

α_1.0 =M(X¹ Y⁰ )=M(X); α_0.1 =M(X⁰ Y¹ )=M(Y).

Вторые центральные моменты:

μ_2,0 =M(X² Y⁰ )=M(x-M(X))² =D(X)

- характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси ОХ.

μ_2,0 = M(X⁰ Y² ) = M(y-M(Y))² = D(Y)

- характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси OY.

Особую роль в качестве характеристики совместной вариации случайных величин X и Y играет второй смешанный центральный момент, который называется корреляционным моментом - K(X,Y) или ковариацией –

cov(X,Y): μ_1,1 =K(X,Y)=cov(X,Y)=M(X¹ Y¹ )=M(XY)-M(X)M(Y).

Корреляционный момент является мерой связи случайных величин.

Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание равно произведению их математических ожиданий:

М (XY)= М (X) М (Y), отсюда cov(X,Y)=0

Если ковариация случайных величин не равна нулю, то говорят, что случайные величины коррелированны. Ковариация может принимать значения на всей числовой оси, поэтому в качестве меры связи используют основной момент порядка s=1, h=1 ,который называют коэффициентом корреляции: