Учебное пособие: Комплексные числа

Содержание

§ 1.Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Определение комплексного числа

Комплексные равенства

Геометрическое изображение комплексных чисел

Модуль и аргумент комплексного числа

Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа

Арифметические действия над комплексными числами

Показательная форма комплексного числа

Формулы Эйлера

§ 2.Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Определение алгебраического уравнения -й степени

Основные свойства многочленов

Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Вопросы для самопроверки

Глоссарий

§ 1. Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Определение комплексного числа (Сформулируйте определение комплексного числа )

Комплексным числомz называется выражение следующего вида:

Комплексное число в алгебраической форме,(1)

Где x, y Î;

i — это мнимая единица , определяемая равенством i 2 = –1.

Основные термины:

x = Re z — действительная часть комплексного числа z ;

y = Im z — мнимая часть комплексного числа z ;

— комплексно сопряженное число числу z ;

— противоположное число числу z ;

— комплексный ноль ;

– так обозначается множество комплексных чисел.

Примеры

1)z = 1 + i Þ Re z = 1, Im z = 1, = 1 – i, = –1 – i ;

2)z = –1 + i Þ Re z = –1, Im z = , = –1 – i, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i = 5 Þ Re z = 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ если Imz = 0, то z = x — действительное число;

4)z = 0 + 3i = 3i Þ Re z = 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Þ если Rez = 0, то z = iy — чисто мнимое число .

Комплексные равенства (Сформулируйте смысл комплексного равенства )

1) ;

2) .

Одно комплексное равенство равносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенства получаются из комплексного равенства разделением действительных и мнимых частей.

Примеры

1) ;

2) .

Геометрическое изображение комплексных чисел (В чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел? )

Комплексное число z изображается точкой (x , y ) на комплексной плоскости или радиус-вектором этой точки.

Знак z во второй четверти означает, что система декартовых координат будет использоваться как комплексная плоскость.

Модуль и аргумент комплексного числа (Что такое модуль и аргумент комплексного числа? )

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--