Учебное пособие: Комплексные числа

Исходное уравнение

P 3(x ) = x 3 + x 2 – x – 1 = 0 Û(x – 1)(x 2 + 2x + 1) = 0 Û(x – 1)(x + 1)2 = 0

Þx 1 = 1 — простой корень, x 2 = –1 — двукратный корень.

Свойство 5 ( о комплексных корнях алгебраического уравнения с действительными коэффициентами )

Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти нули всегда парные комплексно сопряженные, то есть если x 0 = a + bi является корнем уравнения Pn (x ) = 0, то число также является корнем этого уравнения.

Доказательство

w нужно использовать определение и следующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения:

если , то ;

; ; , ;

если – действительное число, то .

Так как является корнем уравнения , то

, где , – действительные числа.

Возьмем сопряжение от обеих частей последнего равенства и используем перечисленные свойства операции сопряжения:

, то есть число также удовлетворяет уравнению , следовательно, является его корнем, ч.т.д. v

Примеры

1) – парные комплексно сопряженные корни;

2) .

Свойство 6 ( о разложении многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители )

Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается на произведение линейных и квадратичных функций с действительными коэффициентами.

Доказательство

w Пусть x 0 = a + bi — нуль многочлена Pn (x ). Если все коэффициенты этого многочлена являются действительными числами, то тоже является его нулем (по свойству 5).

Вычислим произведение двучленов :

комплексный число многочлен уравнение

Получили (x – a )2 + b 2 — квадратный трехчленс действительными коэффициентами.

Таким образом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6) приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. v

Примеры

1)P 3(x ) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);