Учебное пособие: Комплексные числа

3) , так какP 2(–1/2) º 0

Þ.

Деление многочленов на двучлены «в столбик»:

_

_

_

_

_

Свойство 3 (о существовании нуля многочлена )

Теорема алгебры основная

Всякий многочлен степени n ³ 1 имеет, по крайней мере, один нуль, действительный или комплексный

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства.

Поработаем по этой теореме и по теореме Безу с многочленом Pn (x ).

После n -кратного применения этих теорем получим, что

,

гдеa 0 — это коэффициент при x n в Pn (x ).

Следствие из основной теоремы алгебры. О разложении многочлена на линейные множители

Любой многочлен степени на множестве комплексных чисел разлагается на n линейных сомножителей, то есть

Разложение многочлена на линейные множители ,(6)

гдех1, х2, … хn — это нули многочлена.

При этом если k чисел из набора х 1, х 2, … хn совпадают между собой и с числом a, то в произведении (6) получается множитель (x – a)k . Тогда число x = a называется k-кратным нулем многочлена Pn ( x ) . Если k = 1, то нуль называется простым нулем многочлена Pn ( x ) .

Примеры

1)P 4(x ) = (x – 2)(x – 4)3 Þx 1 = 2 — простой нуль, x 2 = 4 — трехкратный нуль;

2)P 4(x ) = (x – i )4 Þx = i — нуль кратности 4.

Свойство 4 (о количестве корней алгебраического уравнения)

Любое алгебраическое уравнение Pn(x) = 0 степени n имеет на множестве комплексных чисел ровно n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

Примеры

1)x 2 – 4x + 5 = 0 — алгебраическое уравнение второй степени

Þx 1,2 = 2 ± = 2 ±i — два корня;

2)x 3 + 1 = 0 — алгебраическое уравнение третьей степени

Þx 1,2,3 = — три корня;

3)P 3(x ) = x 3 + x 2 – x – 1 = 0 Þx 1 = 1, т.к. P 3(1) = 0.