Учебное пособие: Основы теории вероятности

Н₁ = {1-й ученик подготовлен на 5};

Н₂ = {1-й ученик подготовлен на 4};

Н₃ = {1-й ученик подготовлен на 3};

Н₄ = {1-й ученик подготовлен на 2}.

P(H₁ ) = 0,3; P(H₂ ) = 0,4; P(H₃ ) = 0,2; P(H₄ ) = 0,1

P(А/H₁ ) = 1 (событие {1-й ученик ответил на 3 вопроса, при условии, что он выучил 20 из 20}, является достоверным).

(вероятность правильного ответа на 1-й вопрос равна 16/20, на 2-й – 15/19, на 3-й – 14/18).

По формуле (4.2) имеем:

Вывод: учителю придётся предложить ученику ещё дополнительные вопросы.

Раздел 5. Случайные величины (с.в.)

5.1 Дискретные случайные величины

Дискретной случайной величиной называют случайную величину, возможные значения которой есть изолированные числа (число их может быть конечным или бесконечным для счетного множества).

Зависимость вероятностей от возможных значений с.в. есть закон распределения дискретной с.в., который может быть представлен в виде ряда распределения, многоугольника распределения, функции распределения с.в.

При этом название закона распределения диктует формула, по которой вычисляются вероятности, соответствующие возможным значениям С.В. Ниже приведены наиболее часто встречающиеся на практике:

-биномиальный закон распределения дискретной с.в. X – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p. Вероятность возможного значения Х= k по формуле Бернулли равна:

(5.1)

-если n велико, а p в каждом испытании очень мало, то используется приближённая формула (распределение Пуассона) :

, np (5.2)

Здесь

.

-если вероятность появления события А в каждом испытании p (), а Х – число испытаний до появления события А в серии независимых повторных испытаний, то пользуются формулой:

(5.3)

Ряд вероятностей этого распределения будет бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q<1 и суммой, равной единице. Такое распределение называется геометрическим;

-в задачах статистического контроля качества часто используется гипергеометрический закон распределения дискретной с.в. При этом применяется формула:

(5.4)

Здесь из совокупности n элементов, которая содержит m элементов определённого свойства (напр., среди n деталей ровно m бракованных), отбираются случайным образом k элементов. P(X=l) – это вероятность